Le cercle inscrit dans un triangle

Introduction

Dans un triangle, le cercle inscrit est un cercle qui touche les trois côtés du triangle. Ce cercle est appelé le cercle inscrit et son centre s’appelle le circocentre.

Définition du cercle inscrit

Le cercle inscrit d’un triangle est le plus grand cercle qui peut être contenu dans ce triangle, touches les trois côtés en un point chacun.

Le centre du cercle inscrit : le incenter

Son centre, appelé le incenter, est le point où se rencontrent les trois bisectrices des angles du triangle.

Les bisectrices sont les droites qui coupent les angles en deux parties égales.

Construction du cercle inscrit

1. Tracer le triangle ABC.
2. Tracer les bisectrices de deux angles, par exemple les angles en A et en B.
3. Le point d’intersection de ces bisectrices est le centre du cercle inscrit, appelé incenter.
4. Depuis l’incenter, tracer une perpendiculaire à l’un des côtés (par exemple AB) jusqu’à le toucher. Le point de contact sera un point du cercle inscrit.
5. Tracer le cercle passant par ce point de contact et le centre : il sera le cercle inscrit.

Propriété importante

Le cercle inscrit touche les trois côtés du triangle en un seul point de chaque côté. Ces points de contact sont appelés points d'in contact.

Formule du rayon du cercle inscrit

Le rayon \( r \) du cercle inscrit peut être calculé avec la formule : \[ r = rac{A}{s} \] où :

• \( A \) est l’aire du triangle,
• \( s \) est le demi-périmètre du triangle, c’est-à-dire \( s = rac{AB + BC + CA}{2} \).

Résumé

Le cercle inscrit est un cercle dans un triangle, avec comme centre l’incenter, obtenu par les bisectrices. Son rayon peut se calculer à partir de l’aire et du périmètre du triangle.