Le champ électrique

Une charge électrique modifie l'espace autour d'elle, comme un feu de bois qui chauffe tout autour : c'est le champ électrique \(\vec{E}\), et toute autre charge \(q\) placée dans ce champ subit une force \(\vec{F} = q\vec{E}\).

Objectifs

Définir le vecteur champ électrique à partir de la force subie par une charge.
Calculer et représenter le champ créé par une charge ponctuelle.
Additionner les champs créés par plusieurs charges (principe de superposition).
Connaître les lignes de champ et le champ uniforme entre deux plaques parallèles.

1. De la force au champ

Notions clés

Rappel : la loi de Coulomb. Deux charges ponctuelles \(q_A\) et \(q_B\) séparées d'une distance \(r\) exercent l'une sur l'autre des forces opposées, de valeur

\[F = k\,\frac{|q_A|\,|q_B|}{r^2} \qquad \text{avec} \qquad k = 9{,}0 \times 10^{9}\ \mathrm{N \cdot m^2 \cdot C^{-2}}\]

Les charges de même signe se repoussent, celles de signes contraires s'attirent.

Définition. En un point \(M\), une charge \(q\) (dite charge test) subit une force électrique \(\vec{F}\). Le champ électrique en \(M\) est le vecteur

\[\vec{E} = \frac{\vec{F}}{q} \qquad \text{soit} \qquad \vec{F} = q\,\vec{E}\]

Le champ ne dépend pas de la charge test : il dépend seulement des charges qui le créent et du point \(M\).
Unité : le volt par mètre, \(\mathrm{V \cdot m^{-1}}\), équivalent au newton par coulomb, \(\mathrm{N \cdot C^{-1}}\).
Si \(q > 0\), \(\vec{F}\) a le même sens que \(\vec{E}\) ; si \(q < 0\), \(\vec{F}\) est de sens contraire à \(\vec{E}\).

Un électron est placé en un point où le champ électrique est dirigé vers la droite. La force qu'il subit est dirigée…

vers la droite
vers le haut
vers la gauche

\(\vec{F} = q\vec{E}\) avec \(q = -e < 0\) : la force est de sens contraire au champ, donc vers la gauche.

2. Champ créé par une charge ponctuelle

Notions clés

Une charge ponctuelle \(Q\) placée en \(O\) crée en un point \(M\), à la distance \(r = OM\), un champ \(\vec{E}\) :

direction : la droite \((OM)\) ;
sens : vers l'extérieur (on s'éloigne de \(O\)) si \(Q > 0\) ; vers \(O\) si \(Q < 0\) ;
valeur : \[E = k\,\frac{|Q|}{r^2}\]

Étape 1 : une charge test \(q > 0\) placée près de \(Q > 0\) est repoussée : la force \(\vec{F}\) s'éloigne de \(Q\).

Étape 2 : en chaque point, le vecteur \(\vec{E}\) pointe vers l'extérieur ; il est d'autant plus court que le point est loin de \(Q\).

Étape 3 : les lignes de champ sont des droites qui partent de la charge positive, dans toutes les directions.

Fais varier la charge \(Q\) (en microcoulombs) et observe comment la valeur du champ diminue quand la distance \(r\) (en mètres) augmente. Ici \(E\) est en kilovolts par mètre.

Exemple résolu

Une petite sphère porte une charge \(Q = 2{,}0 \times 10^{-6}\ \mathrm{C}\). Calcule la valeur du champ en un point \(M\) situé à \(r = 30\ \mathrm{cm}\), puis la force subie par une charge \(q = -1{,}0 \times 10^{-9}\ \mathrm{C}\) placée en \(M\). Cherche d'abord.

Étape 1 : on convertit : \(r = 30\ \mathrm{cm} = 0{,}30\ \mathrm{m}\), donc \(r^2 = 0{,}090\ \mathrm{m^2}\).

Étape 2 : \[E = k\,\frac{|Q|}{r^2} = \frac{9{,}0 \times 10^{9} \times 2{,}0 \times 10^{-6}}{0{,}090} = \frac{1{,}8 \times 10^{4}}{0{,}090} = 2{,}0 \times 10^{5}\ \mathrm{V \cdot m^{-1}}\]

Étape 3 : \(Q > 0\), donc \(\vec{E}\) est dirigé de la sphère vers \(M\) et au-delà (vers l'extérieur).

Étape 4 : \[F = |q|\,E = 1{,}0 \times 10^{-9} \times 2{,}0 \times 10^{5} = 2{,}0 \times 10^{-4}\ \mathrm{N}\] Comme \(q < 0\), la force est de sens contraire à \(\vec{E}\) : la charge \(q\) est attirée vers la sphère.

À 10 cm d'une charge ponctuelle, le champ vaut \(8\,000\ \mathrm{V \cdot m^{-1}}\). Que vaut-il à 20 cm ?

\(4\,000\ \mathrm{V \cdot m^{-1}}\)
\(2\,000\ \mathrm{V \cdot m^{-1}}\)
\(16\,000\ \mathrm{V \cdot m^{-1}}\)

La distance double, donc le champ est divisé par \(2^2 = 4\) : \(\frac{8\,000}{4} = 2\,000\ \mathrm{V \cdot m^{-1}}\).

3. Plusieurs charges : la superposition

Notions clés

Si des charges \(Q_1, Q_2, \ldots\) créent en \(M\) les champs \(\vec{E}_1, \vec{E}_2, \ldots\), le champ total est la somme vectorielle :

\[\vec{E} = \vec{E}_1 + \vec{E}_2 + \cdots\]

Exemple résolu

Deux charges \(Q_1 = +4{,}0 \times 10^{-9}\ \mathrm{C}\) en \(A\) et \(Q_2 = -4{,}0 \times 10^{-9}\ \mathrm{C}\) en \(B\) sont distantes de \(AB = 20\ \mathrm{cm}\). Détermine le champ au milieu \(M\) de \([AB]\). Cherche d'abord.

Étape 1 : \(AM = BM = 0{,}10\ \mathrm{m}\). Les deux charges ont la même valeur absolue, donc \[E_1 = E_2 = \frac{9{,}0 \times 10^{9} \times 4{,}0 \times 10^{-9}}{(0{,}10)^2} = \frac{36}{0{,}010} = 3{,}6 \times 10^{3}\ \mathrm{V \cdot m^{-1}}\]

Étape 2 : sens. \(Q_1 > 0\) : \(\vec{E}_1\) s'éloigne de \(A\), donc il est dirigé de \(A\) vers \(B\). \(Q_2 < 0\) : \(\vec{E}_2\) pointe vers \(B\), donc lui aussi de \(A\) vers \(B\).

Étape 3 : les deux vecteurs ont même direction et même sens, leurs valeurs s'additionnent : \[E = E_1 + E_2 = 7{,}2 \times 10^{3}\ \mathrm{V \cdot m^{-1}}\] dirigé de \(A\) vers \(B\).

Si les deux charges étaient toutes les deux égales à \(+4{,}0 \times 10^{-9}\ \mathrm{C}\), que vaudrait le champ en \(M\) ?

\(0\ \mathrm{V \cdot m^{-1}}\)
\(3{,}6 \times 10^{3}\ \mathrm{V \cdot m^{-1}}\)
\(7{,}2 \times 10^{3}\ \mathrm{V \cdot m^{-1}}\)

Chaque champ s'éloignerait de sa charge : \(\vec{E}_1\) vers \(B\), \(\vec{E}_2\) vers \(A\). Même valeur, sens contraires : ils s'annulent.

4. Lignes de champ et champ uniforme

Notions clés

Une ligne de champ est une courbe tangente en chacun de ses points au vecteur \(\vec{E}\), orientée dans le sens de \(\vec{E}\).
Les lignes de champ partent des charges positives et arrivent sur les charges négatives. Elles ne se croisent jamais.
Là où les lignes sont serrées, le champ est intense ; là où elles s'écartent, il est faible.

Le champ uniforme entre deux plaques

Entre deux plaques métalliques parallèles, distantes de \(d\) et reliées à un générateur de tension \(U\), le champ est uniforme : même direction, même sens et même valeur en tout point (loin des bords). Les lignes de champ sont des droites parallèles, perpendiculaires aux plaques, orientées de la plaque positive vers la plaque négative, et

\[E = \frac{U}{d}\]

Place les noms sur le schéma.

Exemple résolu

Deux plaques distantes de \(d = 4{,}0\ \mathrm{cm}\) sont soumises à \(U = 200\ \mathrm{V}\). Calcule \(E\), puis la force subie par un électron (\(e = 1{,}6 \times 10^{-19}\ \mathrm{C}\)) et compare-la à son poids (\(m = 9{,}1 \times 10^{-31}\ \mathrm{kg}\), \(g = 9{,}8\ \mathrm{N \cdot kg^{-1}}\)).

Voir la solution

\[E = \frac{U}{d} = \frac{200}{0{,}040} = 5{,}0 \times 10^{3}\ \mathrm{V \cdot m^{-1}}\] \[F = e\,E = 1{,}6 \times 10^{-19} \times 5{,}0 \times 10^{3} = 8{,}0 \times 10^{-16}\ \mathrm{N}\] \[P = m\,g = 9{,}1 \times 10^{-31} \times 9{,}8 \approx 8{,}9 \times 10^{-30}\ \mathrm{N}\]

La force électrique est environ \(10^{14}\) fois plus grande que le poids : on peut négliger le poids de l'électron. L'électron, de charge négative, est poussé vers la plaque positive.

Dans un champ uniforme, comment sont les lignes de champ ?

Des droites qui partent d'un point dans toutes les directions.
Des droites parallèles, régulièrement espacées.
Des cercles autour des plaques.

Un champ uniforme a la même direction et la même valeur partout : ses lignes sont parallèles et également espacées.

Erreurs fréquentes

Récapitulatif

Champ électrique

\(\vec{E} = \frac{\vec{F}}{q}\), en \(\mathrm{V \cdot m^{-1}}\)

Charge ponctuelle

\(E = k\frac{|Q|}{r^2}\), sortant si \(Q > 0\), rentrant si \(Q < 0\)

Constante \(k\)

\(k = 9{,}0 \times 10^{9}\ \mathrm{N \cdot m^2 \cdot C^{-2}}\)

Superposition

\(\vec{E} = \vec{E}_1 + \vec{E}_2 + \cdots\) (somme vectorielle)

Ligne de champ

Tangente à \(\vec{E}\), part des charges positives, arrive sur les négatives.

Champ uniforme

Entre deux plaques : \(E = \frac{U}{d}\), lignes parallèles du plus vers le moins.