Le développement en calcul littéral

Introduction

Le développement est une étape importante en mathématiques. Il permet d’écrire un produit en une somme ou une différence. C’est comme déplier une feuille pliée pour la rendre plate.

Objectif

Savoir développer une expression algébrique en utilisant la distributivité.

La distributivité

La propriété de distributivité est la règle suivante :

\[ a imes (b + c) = a imes b + a imes c \]

Elle est comme une machine qui distribue un nombre devant une parenthèse, en le multipliant par chaque terme à l’intérieur.

Exemples

Exemple 1

Développons \( 3 imes (x + 2) \) :

\[ 3 imes (x + 2) = 3 imes x + 3 imes 2 = 3x + 6 \]

Exemple 2

Développons \( (x + 4) imes (x + 1) \) :

On utilise la distributivité deux fois ou la méthode du produit remarquable :

\[ (x + 4)(x + 1) = x imes x + x imes 1 + 4 imes x + 4 imes 1 = x^2 + x + 4x + 4 \]

En regroupant les termes semblables :

\[ x^2 + (x + 4x) + 4 = x^2 + 5x + 4 \]

Comment faire

1. Repère l’expression à développer.
2. Distribue chaque terme en utilisant la propriété de distributivité.
3. Regroupe les termes semblables si besoin pour simplifier.

Résumé

Le développement consiste à écrire un produit de deux expressions en une somme ou différence en multipliant chaque terme.

Exemple simple : \( a imes (b + c) = a imes b + a imes c \).

Plus complexement, on peut utiliser cette règle pour développer des expressions avec plusieurs termes.