Introduction

Le développement est une opération qui consiste à écrire un produit de plusieurs facteurs sous la forme d'une expression plus simple. C'est une étape fondamentale en calcul littéral, utile pour simplifier ou factoriser des expressions.

La distributivité

Le principe du développement repose sur la propriété de distributivité :

Pour tout a, b, c : \[ a imes (b + c) = a imes b + a imes c \]

Cette propriété permet de multiplier chaque terme à l'intérieur d'une parenthèse par un facteur extérieur.

Exemples de développement

Exemple 1 :
Développons \[ 3 imes (x + 2) \].
En utilisant la distributivité :
\[ 3 imes x + 3 imes 2 = 3x + 6 \]

Exemple 2 :
Développons \[ (x + 4)(x + 2) \].
Il s'agit d'un produit de deux binômes (expression du second degré).
Nous utilisons la méthode appelée « distribution » ou « déploiement » :
\[ (x + 4)(x + 2) = x imes x + x imes 2 + 4 imes x + 4 imes 2 \]
Ce qui donne : \[ x^2 + 2x + 4x + 8 \] Puis, en regroupant : \[ x^2 + (2x + 4x) + 8 = x^2 + 6x + 8 \]

Règles importantes

• Multiplie chaque terme de la première parenthèse par chaque terme de la deuxième (distributivité).
• Rejoins les termes semblables en regroupant des termes similaires.
• Applique la propriété \(\quad a(b + c) = ab + ac \)\ si besoin.