Le Théorème de Pythagore et la Trigonométrie

1. Introduction au théorème de Pythagore

Le théorème de Pythagore concerne les triangles rectangles. Il permet de relier la longueur des côtés.

Définition

Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés :

   c2 = a2 + b2

où c est la longueur de l'hypoténuse, et a et b sont les autres côtés.

Application

Pour calculer une longueur, il suffit de connaître les deux autres :

   c = \sqrt{a2 + b2}

2. La trigonométrie dans le triangle rectangle

La trigonométrie étudie les relations entre les côtés et les angles d'un triangle rectangle.

Les fonctions de base

• Sinus : \( \sin heta = rac{ ext{opposé}}{ ext{hypoténuse}} \)
• Cosinus : \( \cos heta = rac{ ext{adjacent}}{ ext{hypoténuse}} \)
• Tangente : \( an heta = rac{ ext{opposé}}{ ext{adjacent}} \)

Utilisation

Ces relations permettent de calculer un côté ou un angle si deux sont connus :

   \(	ext{si} \ \sin 	heta 	ext{ est connu}\), alors \(	ext{opposé} = \sin 	heta 	imes 	ext{hypoténuse}\).

3. Exemple d'application

Exemple 1 : appliquer le théorème de Pythagore

Dans un triangle rectangle, si un côté est 3 cm, l'autre 4 cm, la longueur de l'hypoténuse :

   c = \sqrt{32 + 42} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \, 	ext{cm}

Exemple 2 : utiliser la trigonométrie

Dans un triangle rectangle, si l'angle \( heta = 30^\circ\) et l'hypoténuse est 10 cm, la longueur du côté opposé :

   opposé = \sin 30^\circ 	imes 10 = 0,5 	imes 10 = 5 \, 	ext{cm}

Et pour le côté adjacent :

   adjacent = \cos 30^\circ 	imes 10 pprox 0,866 	imes 10 pprox 8,66 \, 	ext{cm}

4. Résumé

• Le théorème de Pythagore est valable uniquement dans les triangles rectangles : \( c^{2} = a^{2} + b^{2} \).
• La trigonométrie étudie les ratios des côtés selon l'angle \( heta\) : \( \sin, \cos, an \).
• Ces outils permettent de résoudre de nombreux problèmes en géométrie.