Les angles inscrits et les angles au centre

Introduction

Dans un cercle, il existe deux types d'angles formés par des segments ou des cordes : les angles inscrits et les angles au centre. La relation entre ces deux types d'angles est essentielle en géométrie.

Angles inscrits

Un angle inscrit dans un cercle est un angle dont le sommet est situé sur le cercle et dont les côtés sont des cordes du cercle.

Le message clé est que :

La mesure de l'angle inscrit est la moitié de l'angle au centre interceptant le même arc.

Formellement, si un angle inscrit intercepte un arc, on a :

mesure de l'angle inscrit = \(rac{1}{2}\) de la mesure de l'angle au centre interceptant le même arc

Angles au centre

L'angle au centre est un angle dont le sommet est le centre du cercle. Les côtés sont des segments reliant le centre aux points d'intersection sur la circonférence.

La mesure de l'angle au centre est directement liée à l'arc qu'il intercepte :

mesure de l'angle au centre = la mesure de l'arc intercepté (en degrés)

Relations entre angles inscrits et au centre

Un angle inscrit est toujours la moitié de l'angle au centre qui intercepte le même arc :

\[ ext{angle inscrit} = rac{1}{2} imes ext{angle au centre}\]

Inversement, si un angle au centre et un angle inscrit interceptent le même arc, alors :

\[ ext{angle au centre} = 2 imes ext{angle inscrit}\]

Exemples

Si un angle au centre mesure \(60^{\circ}\), alors l'angle inscrit interceptant le même arc mesure :

\[rac{1}{2} imes 60^{\circ} = 30^{\circ}\]

Inversement, si un angle inscrit mesure \(30^{\circ}\), l'angle au centre correspondant est :

\[\ 2 imes 30^{\circ} = 60^{\circ}\]