Les compositions en géométrie et transformations
Les compositions en géométrie et transformations
Comprendre comment combiner plusieurs transformations géométriques pour obtenir une nouvelle transformation.
Objectifs du cours
- Savoir définir et réaliser la composition de deux transformations
- Comprendre que la composition n'est pas toujours commutative
- Utiliser la composition pour simplifier des dessins ou des calculs
Notions clés
- Transformation : déplacement, rotation, symétrie, homothétie
- Composition : faire une transformation après une autre
- Notion importante : la composition n'est pas toujours commutative, c'est-à-dire que généralement l'ordre change le résultat.
Exemples résolus
Exemple 1 : Composition d'une translation et d'une rotation
Soit un point \(A\) dont on effectue d'abord une translation de vecteur \(\vec{v}\), puis une rotation de centre \(O\) et d'angle \(\theta\).
- Question :
- Comment représenter la transformation composée ?
Solution étape par étape :
Voir la solution détaillée
La transformation composée est représentée par \[ T = \mathcal{R}_{O, \theta} \circ T_{\vec{v}} \] Ce qui signifie que pour un point \(A\), on calcule d'abord \[ A' = A + \vec{v} \] puis \[ A'' = \mathcal{R}_{O, \theta}(A') \]. En termes de coordonnées, si \(A = (x, y)\), alors \[ A' = (x + v_x, y + v_y) \] puis \[ A'' = \left( x'_{A'} \cos \theta - y'_{A'} \sin \theta + x_O, \;\; x'_{A'} \sin \theta + y'_{A'} \cos \theta + y_O \right) \] où \((x_O, y_O)\) est le centre de rotation.
Exemple 2 : Composition de deux rotations
Deux rotations de centres \(O_1\) et \(O_2\) et d'angles \(\alpha\) et \(\beta\).
- Question :
- Contient-elle une rotation ?
Solution :
Voir la solution
La composition de deux rotations est une rotation si et seulement si leurs centres sont confondus ou si elles ont un centre commun. Sinon, le résultat est une transformation géométrique plus complexe.
Quelle est la propriété de la composition de deux rotations ayant le même centre ?
Erreurs fréquentes
Résumé
- La composition de transformations consiste à appliquer une transformation après une autre.
- Elle n'est généralement pas commutative : l'ordre change le résultat.
- Les propriétés dépendent du type de transformations et de leur configuration.
Cartes mémo
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