Les diagonales
Les diagonales du parallélogramme
Dans un parallélogramme, les deux diagonales se coupent en leur milieu ; et réciproquement, un quadrilatère dont les diagonales ont le même milieu est un parallélogramme.
Objectifs
- Savoir ce qu'est une diagonale d'un quadrilatère.
- Connaître la propriété des diagonales d'un parallélogramme : elles se coupent en leur milieu.
- Utiliser cette propriété pour calculer des longueurs.
- Utiliser la propriété réciproque pour reconnaître ou construire un parallélogramme.
- Savoir que les diagonales d'un parallélogramme n'ont pas, en général, la même longueur.
1. Les diagonales d'un quadrilatère
Attention : \([AB]\), \([BC]\), \([CD]\) et \([DA]\) sont des côtés, pas des diagonales.
Dans le quadrilatère \(EFGH\), quelles sont les diagonales ?
2. Les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leur milieu
Sur la figure ci-dessous, place chaque nom au bon endroit.
Dans ce graphique, un parallélogramme de centre l'origine a pour sommets \(A(-a ; -b)\), \(B(c ; -d)\), \(C(a ; b)\) et \(D(-c ; d)\). Les deux droites tracées portent ses diagonales. Bouge les curseurs : quelle que soit la forme, les diagonales passent toutes les deux par le même point, le centre.
Exemple résolu 1 : calculer des longueurs
\(ABCD\) est un parallélogramme de centre \(O\). On sait que \(AC = 10\ \text{cm}\) et \(OB = 3{,}5\ \text{cm}\). Calcule \(OA\), \(OC\) et \(BD\). Cherche d'abord, puis dévoile les étapes.
\(MNPQ\) est un parallélogramme de centre \(I\), avec \(MP = 12\ \text{cm}\). Combien mesure \(IM\) ?
Dans un parallélogramme quelconque, les deux diagonales…
3. La propriété réciproque : reconnaître et construire un parallélogramme
Exemple résolu 2 : démontrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme
Les segments \([EG]\) et \([FH]\) se coupent en \(K\). On sait que \(KE = KG = 4\ \text{cm}\) et \(KF = KH = 2{,}5\ \text{cm}\). Montre que \(EFGH\) est un parallélogramme.
Voir la solution
\(K\) appartient à \([EG]\) et \(KE = KG\), donc \(K\) est le milieu de \([EG]\). De même, \(K\) appartient à \([FH]\) et \(KF = KH\), donc \(K\) est le milieu de \([FH]\). Les diagonales \([EG]\) et \([FH]\) du quadrilatère \(EFGH\) ont le même milieu \(K\) : d'après la propriété réciproque, \(EFGH\) est un parallélogramme.
Construire un parallélogramme à partir de ses diagonales
On trace la diagonale \([AC]\) et on place son milieu \(O\). Par \(O\), on trace une droite dans la direction choisie pour l'autre diagonale.
Au compas, on place \(B\) et \(D\) sur cette droite, de part et d'autre de \(O\), avec \(OB = OD\) : \(O\) est aussi le milieu de \([BD]\).
On relie \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) : les diagonales ont le même milieu, donc \(ABCD\) est un parallélogramme.
Les diagonales d'un quadrilatère \(RSTU\) mesurent \(8\ \text{cm}\) et \(8\ \text{cm}\), mais elles ne se coupent pas en leur milieu. Peut-on dire que \(RSTU\) est un parallélogramme ?
4. Et la longueur des diagonales ?
- Dans un parallélogramme quelconque, les diagonales n'ont pas la même longueur.
- Si un parallélogramme a des diagonales de même longueur, c'est un rectangle.
- Si un parallélogramme a des diagonales perpendiculaires, c'est un losange.
- Si les deux sont vraies à la fois, c'est un carré.
Exemple résolu 3
\(ABCD\) est un parallélogramme de centre \(O\) tel que \(OA = 4\ \text{cm}\) et \(OB = 4\ \text{cm}\). Que peut-on dire de ses diagonales ? Quelle est la nature de \(ABCD\) ?
Voir la solution
\(AC = 2 \times OA = 8\ \text{cm}\) et \(BD = 2 \times OB = 8\ \text{cm}\). Les diagonales ont la même longueur : le parallélogramme \(ABCD\) est un rectangle.
Un parallélogramme a des diagonales perpendiculaires mais de longueurs différentes. C'est…
Erreurs fréquentes
- Confondre diagonale et côté : une diagonale relie deux sommets opposés.
- Croire que les diagonales d'un parallélogramme ont toujours la même longueur.
- Croire qu'elles sont toujours perpendiculaires.
- Écrire \(OA = AC\) au lieu de \(OA = \dfrac{AC}{2}\).
- Utiliser la propriété directe quand on veut démontrer qu'une figure est un parallélogramme : c'est la réciproque qu'il faut citer.
Récapitulatif
- Une diagonale relie deux sommets opposés ; un quadrilatère en a deux.
- Parallélogramme \(\Rightarrow\) ses diagonales se coupent en leur milieu (le centre).
- Diagonales qui se coupent en leur milieu \(\Rightarrow\) parallélogramme.
- \(OA = OC = \dfrac{AC}{2}\) et \(OB = OD = \dfrac{BD}{2}\).
- Diagonales égales : rectangle ; perpendiculaires : losange ; les deux : carré.
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