Les Factorisations en Mathématiques

Introduction

La factorisation consiste à écrire une expression mathématique sous la forme d’un produit de facteurs. Cela facilite la résolution, la simplification ou l’analyse d’expression.

Objectifs

• Savoir factoriser des expressions du type \(ax^2 + bx + c\).
• Comprendre la différence entre une expression factorisée et développée.
• Améliorer la résolution d’équations.

Les principales méthodes de factorisation

Factoriser par mise en évidence

On met en facteur le plus grand facteur commun (GCF) de tous les termes.

Exemple : \[ 6x^3 + 9x^2 = 3x^2 (2x + 3) \]

Factoriser un trinôme du second degré formé de la forme \(ax^2 + bx + c\)

Considérons l’expression \(ax^2 + bx + c\). La méthode dépend du discriminant delta :

• extbf{Discriminant \(\Delta > 0\)} : il y a deux racines réelles, et on peut factoriser comme suit :

\[ ax^2 + bx + c = a (x - x_1)(x - x_2) \] où \(x_1\) et \(x_2\) sont les racines trouvées à l’aide de la formule :

\[ x_{1,2} = rac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \]
• extbf{Discriminant \(\Delta = 0\)} : une racine double :

\[ ax^2 + bx + c = a (x - x_0)^2 \] avec \(x_0 = rac{-b}{2a}\).

• extbf{Discriminant \(\Delta < 0\)} : pas de racines réelles, pas de factorisation en nombres réels sauf expression factorisée symboliquement.

Factorisation d’un produit de deux binômes

Exemple : \[ (x + 3)(x + 4) \] se développe en \[ x^2 + 7x + 12 \] et peut être factorisé de nouveau en utilisant la distributivité inverse.

Résumé

• Mise en évidence : rechercher un facteur commun dans tous les termes.
• Trinômes du second degré : utiliser la formule du discriminant pour trouver la factorisation.
• Expression factorisée : produit de facteurs plus simples.

Conclusion

La factorisation est une étape clé pour simplifier et résoudre des équations en mathématiques. Elle repose sur des méthodes variées, toujours basées sur la propriété que tout produit ou somme peut souvent être décomposé en facteurs.