Les Fonctions Polynômes du Second Degré : Formes Factorisée, Canonique, Développée

1. Définition d'une fonction polynôme du second degré

Une fonction polynôme du second degré est une fonction de la forme :

\(f(x) = ax^2 + bx + c\)

où \(a, b, c\) sont des réels avec \(a eq 0\).

2. Formes de représentation d'un polynôme du second degré

2.1 Forme développée

C'est la forme la plus usuelle :

\(f(x) = ax^2 + bx + c \)

2.2 Forme factorisée

Une fonction peut être factorisée si elle admet deux racines \(x_1\) et \(x_2\) telles que :

\(f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\)

Les racines \(x_1\) et \(x_2\) sont les solutions de l'équation \(ax^2 + bx + c = 0\).

2.3 Forme canonique (ou sommet)

Elle permet de connaître le sommet de la parabole :

\(f(x) = a(x - lpha)^2 + eta\)

où \(lpha\) et \(eta\) sont les coordonnées du sommet.

3. Conversion entre formes

3.1 De la forme développée à la forme factorisée

Calculer les racines à partir de l'équation \(ax^2 + bx + c = 0\) en utilisant la formule :

\(x_{1,2} = rac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\)

avec discriminant \(\Delta = b^2 - 4ac\).

Une fois racines trouvées, on écrit la forme factorisée :

\(f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\)

3.2 De la forme développée à la forme canonique

Le sommet \(lpha\) de la parabole est donné par :

\(lpha = -rac{b}{2a}\)

La coordonnée \(eta\) du sommet est :

\(eta = f(lpha) = c - rac{b^2}{4a}\)

La forme canonique est donc :

\(f(x) = a \left( x - \left( -rac{b}{2a} ight) ight)^2 + \left( c - rac{b^2}{4a} ight) \)

4. Exemple

Considérons la fonction \(f(x) = 2x^2 - 4x + 1\).

Forme développée :

\(f(x) = 2x^2 - 4x + 1\)

Calcul du discriminant :

\(\Delta = (-4)^2 - 4 imes 2 imes 1 = 16 - 8 = 8\)

Racines :

\(x_{1,2} = rac{4 \pm \sqrt{8}}{4} = rac{4 \pm 2\sqrt{2}}{4} = 1 \pm rac{\sqrt{2}}{2}\)

Forme factorisée :

\(f(x) = 2\left(x - \left( 1 + rac{\sqrt{2}}{2} ight) ight)\left(x - \left( 1 - rac{\sqrt{2}}{2} ight) ight)\)

Forme canonique :

Le sommet :

\(lpha = -rac{-4}{2 imes 2} = 1\)

\(eta = f(1) = 2(1)^2 - 4(1) + 1 = 2 - 4 + 1 = -1\)

La forme canonique :

\(f(x) = 2(x - 1)^2 -1\)