Les fractions dans le développement et la factorisation

Développer et factoriser avec des fractions, c'est utiliser les mêmes règles qu'avec les nombres entiers, en calculant proprement chaque produit de fractions et en simplifiant à la fin.

Objectifs

Revoir les quatre opérations sur les fractions et la simplification.
Développer une expression dont les coefficients sont des fractions (simple et double distributivité).
Factoriser une expression en mettant en facteur une fraction.
Simplifier une fraction algébrique en factorisant son numérateur.

1. Rappels : calculer avec des fractions

Une fraction \(\frac{a}{b}\) (avec \(b\neq 0\)) représente \(a\) parts d'une galette partagée en \(b\) parts égales. Voici les règles à connaître :

Simplifier : on divise le numérateur et le dénominateur par un même nombre : \(\frac{18}{24}=\frac{6\times 3}{6\times 4}=\frac{3}{4}\).
Additionner ou soustraire : on met d'abord au même dénominateur : \(\frac{a}{d}+\frac{c}{d}=\frac{a+c}{d}\).
Multiplier : numérateur fois numérateur, dénominateur fois dénominateur : \(\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}=\frac{a\times c}{b\times d}\).
Diviser : on multiplie par l'inverse : \(\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\times\frac{d}{c}\) (avec \(c\neq 0\)).

Exemple résolu 1 : une somme et un produit

Calcule \(A=\frac{3}{4}+\frac{5}{6}\) et \(B=\frac{2}{3}\times\frac{9}{4}\), puis \(C=\frac{5}{8}\div\frac{15}{4}\). Cherche d'abord, puis dévoile les étapes.

Pour \(A\), le plus petit dénominateur commun de 4 et 6 est 12 : \[A=\frac{3\times 3}{4\times 3}+\frac{5\times 2}{6\times 2}=\frac{9}{12}+\frac{10}{12}=\frac{19}{12}\]

Pour \(B\), on décompose avant de multiplier pour simplifier : \[B=\frac{2\times 9}{3\times 4}=\frac{2\times 3\times 3}{3\times 2\times 2}=\frac{3}{2}\]

Pour \(C\), on multiplie par l'inverse de \(\frac{15}{4}\) : \[C=\frac{5}{8}\times\frac{4}{15}=\frac{5\times 4}{2\times 4\times 3\times 5}=\frac{1}{6}\]

Combien vaut \(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\) ?

\(\frac{2}{5}\)
\(\frac{5}{6}\)
\(\frac{1}{6}\)

Au même dénominateur 6 : \(\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{5}{6}\).

2. Développer avec des fractions

Développer, c'est transformer un produit en somme. La règle de distributivité reste la même quand \(k\) est une fraction :

\[k(a+b)=ka+kb\qquad\text{et}\qquad k(a-b)=ka-kb\]

Le schéma ci-dessous montre pourquoi : l'aire d'un grand rectangle est égale à la somme des aires des deux petits.

Étape 1 : la largeur totale \(a+b\) est coupée en deux morceaux, \(a\) et \(b\).

Étape 2 : chaque petit rectangle a pour aire \(k\times a\) et \(k\times b\).

Étape 3 : l'aire totale \(k(a+b)\) est la somme des deux aires, même si \(k\) est une fraction.

Vérifie-le avec le graphique : les deux expressions \(a(x+b)\) et \(ax+ab\) donnent la même droite, quelles que soient les valeurs choisies avec les curseurs (essaie \(a=0{,}5\) et \(b=3\)).

Exemple résolu 2 : simple distributivité

Développe et réduis \(D=\frac{2}{3}\left(6x-\frac{3}{4}\right)\).

Voir la solution

On distribue \(\frac{2}{3}\) sur chaque terme : \[D=\frac{2}{3}\times 6x-\frac{2}{3}\times\frac{3}{4}\]

Premier produit : \(\frac{2}{3}\times 6x=\frac{12}{3}x=4x\).

Second produit : \(\frac{2}{3}\times\frac{3}{4}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}\).

Résultat : \[D=4x-\frac{1}{2}\]

Exemple résolu 3 : double distributivité

Développe et réduis \(E=\left(x+\frac{1}{2}\right)\left(x-\frac{1}{3}\right)\).

Voir la solution

On multiplie chaque terme de la première parenthèse par chaque terme de la seconde : \[(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd\]

\[E=x\times x+x\times\left(-\frac{1}{3}\right)+\frac{1}{2}\times x+\frac{1}{2}\times\left(-\frac{1}{3}\right)=x^2-\frac{1}{3}x+\frac{1}{2}x-\frac{1}{6}\]

On réduit les termes en \(x\) : \(-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}=-\frac{2}{6}+\frac{3}{6}=\frac{1}{6}\).

Résultat : \[E=x^2+\frac{1}{6}x-\frac{1}{6}\]

Quel est le développement de \(\frac{1}{2}(4x+6)\) ?

\(2x+6\)
\(2x+3\)
\(4x+3\)

On multiplie les deux termes par \(\frac{1}{2}\) : \(\frac{1}{2}\times 4x=2x\) et \(\frac{1}{2}\times 6=3\).

3. Factoriser avec des fractions

Factoriser, c'est transformer une somme en produit. On lit la distributivité dans l'autre sens :

\[ka+kb=k(a+b)\]

Le facteur commun \(k\) peut être une fraction. Pour trouver ce qui reste dans la parenthèse, on divise chaque terme par \(k\) (donc on multiplie par son inverse).

Exemple résolu 4 : facteur commun fractionnaire

Factorise \(F=\frac{2}{3}x-\frac{4}{9}\) en mettant \(\frac{2}{3}\) en facteur.

Voir la solution

Premier terme : \(\frac{2}{3}x=\frac{2}{3}\times x\).

Second terme : on cherche le nombre qui, multiplié par \(\frac{2}{3}\), donne \(\frac{4}{9}\) : \(\frac{4}{9}\div\frac{2}{3}=\frac{4}{9}\times\frac{3}{2}=\frac{12}{18}=\frac{2}{3}\).

Donc \[F=\frac{2}{3}\left(x-\frac{2}{3}\right)\]

Vérification en redéveloppant : \(\frac{2}{3}\times x-\frac{2}{3}\times\frac{2}{3}=\frac{2}{3}x-\frac{4}{9}\). C'est juste.

Quelle est la factorisation de \(\frac{5}{4}x-\frac{5}{2}\) ?

\(\frac{5}{4}(x-2)\)
\(\frac{5}{4}\left(x-\frac{5}{2}\right)\)
\(5(x-2)\)

\(\frac{5}{2}\div\frac{5}{4}=\frac{5}{2}\times\frac{4}{5}=2\), donc \(\frac{5}{4}x-\frac{5}{2}=\frac{5}{4}(x-2)\). En redéveloppant : \(\frac{5}{4}\times 2=\frac{10}{4}=\frac{5}{2}\).

4. Simplifier une fraction en factorisant

On ne peut simplifier une fraction que par un facteur commun au numérateur et au dénominateur. Il faut donc d'abord factoriser le numérateur.

Exemple résolu 5

Simplifie \(G=\frac{4x+12}{8}\).

On factorise le numérateur par 4 : \(4x+12=4(x+3)\).

On écrit \(8=4\times 2\) : \[G=\frac{4(x+3)}{4\times 2}\]

On simplifie par le facteur commun 4 : \[G=\frac{x+3}{2}\]

À quoi est égale la fraction \(\frac{6x+9}{3}\) ?

\(6x+3\)
\(2x+9\)
\(2x+3\)

\(6x+9=3(2x+3)\), donc \(\frac{3(2x+3)}{3}=2x+3\) : on divise TOUS les termes du numérateur par 3.

Erreurs fréquentes

Additionner les dénominateurs : \(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\neq\frac{2}{5}\) ; il faut un dénominateur commun.
Oublier de distribuer sur le second terme : \(\frac{1}{2}(4x+6)\neq 2x+6\).
Se tromper de signe : \(\frac{2}{3}\left(x-\frac{3}{4}\right)=\frac{2}{3}x-\frac{1}{2}\), le signe moins se garde.
Simplifier dans une somme : \(\frac{x+3}{3}\neq x+1\) ; on simplifie seulement un facteur commun.

Récapitulatif

Pour calculer avec des fractions : même dénominateur pour additionner, produit des numérateurs et des dénominateurs pour multiplier, multiplication par l'inverse pour diviser, et simplification à la fin. Développer applique \(k(a+b)=ka+kb\) et \((a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd\), même quand les coefficients sont des fractions. Factoriser applique \(ka+kb=k(a+b)\) : on trouve le contenu de la parenthèse en divisant chaque terme par \(k\). Pour simplifier une fraction contenant une somme, on factorise d'abord le numérateur.

Produit de fractions

\(\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}\)

Quotient de fractions

\(\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\times\frac{d}{c}\)

Développer

\(k(a+b)=ka+kb\), même si \(k\) est une fraction.

Double distributivité

\((a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd\)

Factoriser

\(ka+kb=k(a+b)\) : on divise chaque terme par le facteur commun \(k\).

Simplifier une fraction

Factoriser le numérateur, puis simplifier par un facteur commun : \(\frac{4(x+3)}{8}=\frac{x+3}{2}\).