Les interrogations trigonométriques
Les interrogations trigonométriques
La trigonométrie répond à une question simple : connaissant un angle et une longueur, comment trouver une autre longueur qu'on ne peut pas mesurer ? Le sinus, le cosinus et la tangente font ce travail.
Objectifs
- Reconnaître l'hypoténuse, le côté opposé et le côté adjacent à un angle dans un triangle rectangle.
- Utiliser le sinus, le cosinus et la tangente pour calculer une longueur ou un angle.
- Connaître les valeurs remarquables et la relation \( \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1 \).
- Découvrir les fonctions sinus et cosinus et leurs usages (ondes, mouvements qui se répètent).
1. Première question : à quoi sert la trigonométrie ?
Le mot trigonométrie vient du grec et signifie « mesure des triangles ». Elle relie les angles et les longueurs d'un triangle. On l'utilise pour mesurer des hauteurs et des distances inaccessibles, construire des toits et des rampes, se repérer avec un GPS, ou décrire des phénomènes qui se répètent, comme les vagues ou le courant alternatif.
2. Deuxième question : comment s'appellent les côtés ?
Dans un triangle rectangle, on choisit un angle aigu \( \alpha \) (lire « alpha »). Alors :
- l'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit ; c'est le plus long côté ;
- le côté opposé à \( \alpha \) est le côté qui est en face de \( \alpha \) ;
- le côté adjacent à \( \alpha \) est le côté qui touche \( \alpha \) et qui n'est pas l'hypoténuse.
À toi de légender
L'angle étudié est marqué par un petit arc à gauche ; l'angle droit par un petit carré. Place chaque nom.
Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse est :
3. Troisième question : que valent sinus, cosinus et tangente ?
Pour un angle aigu \( \alpha \) d'un triangle rectangle :
\[ \sin \alpha = \frac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}} \qquad \cos \alpha = \frac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}} \qquad \tan \alpha = \frac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}} \]Comme l'hypoténuse est le plus long côté, on a toujours \( 0 < \sin \alpha < 1 \) et \( 0 < \cos \alpha < 1 \) pour un angle aigu. De plus, grâce au théorème de Pythagore :
\[ \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1 \qquad \text{et} \qquad \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \]Les valeurs remarquables
- \( \sin 30^\circ = \cos 60^\circ = \dfrac{1}{2} \)
- \( \sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \) et \( \tan 45^\circ = 1 \)
- \( \sin 60^\circ = \cos 30^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \)
Exemple résolu 1 : le triangle 3, 4, 5
Un triangle est rectangle. Pour l'angle \( \alpha \), le côté opposé mesure \( 3\ \text{cm} \), le côté adjacent \( 4\ \text{cm} \) et l'hypoténuse \( 5\ \text{cm} \). Calcule \( \sin \alpha \), \( \cos \alpha \), \( \tan \alpha \), puis vérifie la relation \( \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1 \).
Quel rapport donne la tangente d'un angle ?
4. Quatrième question : comment calculer une longueur inaccessible ?
Exemple résolu 2 : la hauteur du baobab
Étape 1 : Moussa mesure sa distance au pied du baobab : 20 m. C'est le côté adjacent à l'angle de visée.
Étape 2 : il vise le sommet : la ligne de visée fait un angle de 35° avec le sol.
Étape 3 : la hauteur h est le côté opposé à l'angle. On connaît l'adjacent et on cherche l'opposé : on utilise la tangente.
Exemple résolu 3 : trouver un angle
Une rampe d'accès pour fauteuil roulant, devant un centre de santé à Niamey, mesure \( 6\ \text{m} \) de long et monte de \( 1\ \text{m} \). Quel angle fait-elle avec le sol ? Cherche d'abord.
Voir la solution
La rampe est l'hypoténuse (\( 6\ \text{m} \)), la hauteur de \( 1\ \text{m} \) est le côté opposé à l'angle cherché. On utilise le sinus :
\[ \begin{align} \sin \alpha &= \frac{1}{6} \approx 0{,}167\\ \alpha &= \arcsin\left(\frac{1}{6}\right) \approx 9{,}6^\circ \end{align} \]La touche \( \sin^{-1} \) (ou « arcsin ») de la calculatrice donne l'angle à partir de son sinus. La rampe fait environ \( 9{,}6^\circ \) avec le sol.
On connaît l'hypoténuse et l'angle, et on cherche le côté adjacent. Quelle formule utiliser ?
5. Cinquième question : que sont les fonctions trigonométriques ?
Pour aller au-delà des angles d'un triangle, on utilise le cercle trigonométrique : un cercle de rayon \( 1 \). Un point qui tourne sur ce cercle d'un angle \( x \) a pour coordonnées \( (\cos x\,;\ \sin x) \). On peut alors parler du sinus et du cosinus de n'importe quel angle, même plus grand que \( 90^\circ \) ou négatif.
On mesure souvent ces angles en radians : un tour complet vaut \( 360^\circ = 2\pi \) radians, donc \( 180^\circ = \pi \) radians.
Les fonctions \( x \mapsto \sin x \) et \( x \mapsto \cos x \) sont périodiques : leur courbe se répète tous les \( 2\pi \). Leurs valeurs restent toujours entre \( -1 \) et \( 1 \).
Manipule la courbe
Le graphique trace \( y = a \sin(bx) \). Le curseur a change la hauteur des vagues (l'amplitude) ; le curseur b change leur fréquence : plus b est grand, plus les vagues sont serrées.
Avec a égal à 2, entre quelles valeurs la courbe \( y = a\sin(bx) \) oscille-t-elle ?
Erreurs fréquentes
Récapitulatif
- Dans un triangle rectangle : \( \sin \alpha = \dfrac{\text{opp}}{\text{hyp}} \), \( \cos \alpha = \dfrac{\text{adj}}{\text{hyp}} \), \( \tan \alpha = \dfrac{\text{opp}}{\text{adj}} \) (SOH CAH TOA).
- \( \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1 \) et \( \tan \alpha = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \).
- Valeurs remarquables : \( \sin 30^\circ = \dfrac{1}{2} \), \( \cos 45^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \), \( \sin 60^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \).
- On calcule une longueur inaccessible avec un angle et une longueur connus ; on retrouve un angle avec arcsin, arccos ou arctan.
- Les fonctions sinus et cosinus sont périodiques (période \( 2\pi \)) et décrivent les phénomènes qui se répètent.
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