Les mesures de dispersion

Deux séries peuvent avoir la même moyenne et pourtant être très différentes : l'étendue, la variance et l'écart-type mesurent à quel point les valeurs s'écartent de la moyenne.

Objectifs

Comprendre pourquoi la moyenne seule ne suffit pas pour décrire une série.
Calculer l'étendue d'une série statistique.
Calculer la variance et l'écart-type d'une série (valeurs isolées, tableau d'effectifs, classes).
Interpréter l'écart-type et connaître l'effet d'un changement d'unité ou d'une augmentation uniforme.

1. Pourquoi mesurer la dispersion ?

Deux séries ont la même moyenne. Que peut-on en conclure ?

Elles sont identiques
Rien sur la façon dont leurs valeurs sont étalées
Elles ont la même étendue

Les notes d'Aminata et de Koffi ont la même moyenne 12, mais celles de Koffi sont bien plus étalées : il faut une mesure de dispersion.

2. L'étendue

L'étendue d'une série est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur :

\[ e = x_{\max} - x_{\min}. \]

Aminata : \(e = 13 - 11 = 2\). Koffi : \(e = 18 - 6 = 12\). Les notes de Koffi sont beaucoup plus dispersées.

Les températures maximales relevées à Niamey pendant une semaine sont 38, 41, 40, 43, 39, 42, 40 (en °C). Quelle est l'étendue ?

40 °C
3 °C
4 °C
5 °C

\(e = 43 - 38 = 5\) °C : on prend la plus grande valeur moins la plus petite.

3. La variance et l'écart-type

Pour une série de valeurs \(x_1, x_2, \dots, x_N\) de moyenne \(\bar{x}\) :

\[ V = \frac{1}{N}\left[(x_1 - \bar{x})^2 + (x_2 - \bar{x})^2 + \dots + (x_N - \bar{x})^2\right]. \]

L'écart-type est la racine carrée de la variance : \(\sigma = \sqrt{V}\). Il s'exprime dans la même unité que les valeurs (points, F CFA, cm…).

Avec un tableau d'effectifs (valeurs \(x_i\), effectifs \(n_i\), effectif total \(N\)) :

\[ V = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{p} n_i\,(x_i - \bar{x})^2 = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{p} n_i\,x_i^2 - \bar{x}^2. \]

Exemple résolu 1 : les notes de Koffi

On mesure l'écart de chaque note à la moyenne 12 : −6, −2, 0, +2, +6. Leur somme vaut 0.

On élève chaque écart au carré et on additionne : 80.

On divise par l'effectif 5 : la variance vaut 16, l'écart-type 4 points.

Pour Aminata, cherche d'abord : ses écarts à 12 sont \(-1, 0, 0, 1, 0\).

Voir la solution

\[ V_A = \frac{1 + 0 + 0 + 1 + 0}{5} = 0{,}4 \qquad \sigma_A = \sqrt{0{,}4} \approx 0{,}63. \]

L'écart-type d'Aminata (environ 0,63 point) est bien plus petit que celui de Koffi (4 points) : ses notes sont plus regroupées autour de la moyenne.

Exemple résolu 2 : un tableau d'effectifs

Une équipe de football d'un quartier de Kumasi a joué 20 matchs. Voici le nombre de buts marqués par match.

Buts \(x_i\)	0	1	2	3	4	Total
Matchs \(n_i\)	3	6	5	4	2	20

Moyenne : \(\bar{x} = \dfrac{0\times3 + 1\times6 + 2\times5 + 3\times4 + 4\times2}{20} = \dfrac{36}{20} = 1{,}8\) but par match.

Moyenne des carrés : \(\dfrac{0\times3 + 1\times6 + 4\times5 + 9\times4 + 16\times2}{20} = \dfrac{94}{20} = 4{,}7\).

Variance : \(V = 4{,}7 - 1{,}8^2 = 4{,}7 - 3{,}24 = 1{,}46\).

Écart-type : \(\sigma = \sqrt{1{,}46} \approx 1{,}21\) but.

Exemple résolu 3 : des données regroupées en classes

On a relevé le temps de trajet (en minutes) de 20 élèves de Bouaké. Pour des classes, on remplace chaque classe par son centre.

Temps (min)	\([0\,;10[\)	\([10\,;20[\)	\([20\,;30[\)	\([30\,;40[\)
Centre \(c_i\)	5	15	25	35
Effectif \(n_i\)	4	8	6	2

Cherche d'abord la moyenne, puis la variance et l'écart-type.

Voir la solution

\begin{align} \bar{x} &= \frac{4\times5 + 8\times15 + 6\times25 + 2\times35}{20} = \frac{360}{20} = 18 \text{ min} \\ \frac{1}{N}\sum n_i c_i^2 &= \frac{4\times25 + 8\times225 + 6\times625 + 2\times1225}{20} = \frac{8100}{20} = 405 \\ V &= 405 - 18^2 = 405 - 324 = 81 \\ \sigma &= \sqrt{81} = 9 \text{ min} \end{align}

Une série a pour variance \(V = 25\) (valeurs en F CFA au carré). Quel est son écart-type ?

625 F CFA
5 F CFA
12,5 F CFA

\(\sigma = \sqrt{V} = \sqrt{25} = 5\) F CFA. L'écart-type revient à l'unité des valeurs.

4. Interpréter et transformer

Plus l'écart-type est petit, plus la série est homogène (valeurs regroupées autour de la moyenne).
Pour comparer deux séries de même unité et de moyennes proches, on compare leurs écarts-types.
Souvent, une grande partie des valeurs se trouve dans l'intervalle \([\bar{x} - \sigma\,;\,\bar{x} + \sigma]\).

Si on transforme chaque valeur par \(y_i = a\,x_i + b\) :

\[ \bar{y} = a\,\bar{x} + b, \qquad V_y = a^2\,V_x, \qquad \sigma_y = |a|\,\sigma_x. \]

Un professeur ajoute 2 points à toutes les notes d'un devoir, dont l'écart-type était 3. Quel est le nouvel écart-type ?

Ajouter une même constante ne change pas les écarts à la moyenne : \(\sigma\) reste égal à 3.

Des prix ont un écart-type de 400 F CFA. On les convertit en milliers de F CFA (on divise par 1000). Quel est le nouvel écart-type ?

0,4 millier de F CFA
400 milliers de F CFA
0,16 millier de F CFA

Ici \(a = \dfrac{1}{1000}\), donc \(\sigma_y = \dfrac{400}{1000} = 0{,}4\).

Erreurs fréquentes

Oublier de multiplier par les effectifs \(n_i\) dans un tableau.
Calculer \(\frac{1}{N}\sum n_i x_i^2\) et oublier de retrancher \(\bar{x}^2\).
Donner la variance à la place de l'écart-type (ou oublier la racine carrée).
Trouver une variance négative : c'est forcément une erreur de calcul.

Récapitulatif

flowchart LR
A[Série] --> B[Moyenne]
B --> C[Écarts à la moyenne]
C --> D[Carrés des écarts]
D --> E[Variance V]
E --> F[Écart type racine de V]

Étendue

\(e = x_{\max} - x_{\min}\) : simple, mais sensible aux valeurs extrêmes.

Variance

\(V = \dfrac{1}{N}\sum n_i (x_i - \bar{x})^2 = \dfrac{1}{N}\sum n_i x_i^2 - \bar{x}^2\)

Écart-type

\(\sigma = \sqrt{V}\), dans l'unité des valeurs.

Interprétation

Petit \(\sigma\) : série homogène ; grand \(\sigma\) : série dispersée.

Transformation \(y = ax + b\)

\(\bar{y} = a\bar{x} + b\) et \(\sigma_y = |a|\,\sigma_x\)