Les mesures de dispersion en statistique

Lorsque l'on analyse un ensemble de données, il ne suffit pas de connaître la moyenne ou la médiane. Il faut aussi comprendre comment ces données sont réparties ou dispersées autour de ces valeurs.

1. Qu'est-ce que la dispersion ?

La dispersion indique la variation ou l'étendue des données. Si toutes les valeurs sont proches, la dispersion est faible. Si elles sont très écartées, la dispersion est grande.

2. La valeur étendue (ou amplitude)

La valeur étendue se calcule en soustrayant la plus petite valeur à la plus grande :

• \(Amplitude = \( ext{max} - ext{min}\)\)

Par exemple, si les notes sont de 12 et 18, l'amplitude est : \( ext{18} - ext{12} = 6\).

3. La variance et l'écart type

Ces mesures prennent en compte la distance de chaque donnée par rapport à la moyenne.

3.1 La variance

La variance (\(\sigma^2\)) est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne :

• \(<>Variance = \(rac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - ar{x})^2\)

où \(x_i\) sont les données, \(ar{x}\) la moyenne, et \(n\) le nombre de données.

3.2 L'écart type

Il s'agit de la racine carrée de la variance :

• \(<>Ecart\ type = \sqrt{ ext{Variance}}\)

Il donne une mesure plus intuitive de la dispersion en unités des données originales.

4. Exemple

Supposons les notes : 14, 16, 15, 17, 13.

• Moyenne : \(rac{14 + 16 + 15 + 17 + 13}{5} = 15\)
• Amplitude : \(17 - 13 = 4\)
• Écarts à la moyenne : (14-15) = -1, (16-15)=1, (15-15)=0, (17-15)=2, (13-15)=-2
• Carrés des écarts : 1, 1, 0, 4, 4
• Variance : \(rac{1+1+0+4+4}{5} = rac{10}{5} = 2\)
• Écart type : \(\sqrt{2} pprox 1,41\)

Conclusion

Les mesures de dispersion nous permettent de mieux comprendre la distribution des données. La valeur étendue est simple à calculer, mais l'écart type donne une idée plus précise de la variabilité.