Les mesures de tendance centrale
Les mesures de tendance centrale : moyenne, médiane et mode
Pour résumer une longue liste de données par une seule valeur « typique », on utilise la moyenne (le partage équitable), la médiane (la valeur du milieu) ou le mode (la valeur la plus fréquente).
Objectifs
- Calculer une moyenne simple, une moyenne pondérée et une moyenne à partir d'un tableau d'effectifs ou de classes.
- Déterminer la médiane d'une série (valeurs isolées ou regroupées en classes) à l'aide des effectifs cumulés.
- Déterminer le mode ou la classe modale.
- Choisir l'indicateur le plus adapté selon la situation (valeurs extrêmes, données qualitatives…).
Vocabulaire de départ
Une série statistique est une liste de valeurs \(x_1, x_2, \dots, x_p\) d'un caractère, chacune observée \(n_i\) fois. Le nombre \(n_i\) est l'effectif de la valeur \(x_i\), et l'effectif total est \(N = n_1 + n_2 + \dots + n_p = \sum_{i=1}^{p} n_i\).
La fréquence de la valeur \(x_i\) est \(f_i = \dfrac{n_i}{N}\), et la somme des fréquences vaut \(1\).
1. La moyenne : le partage équitable
Moyenne d'une liste de valeurs
La moyenne de \(n\) valeurs \(x_1, \dots, x_n\) est :
\[\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i\]Moyenne à partir d'un tableau d'effectifs
Quand la valeur \(x_i\) apparaît \(n_i\) fois, on ne l'additionne pas \(n_i\) fois : on multiplie.
\[\bar{x} = \frac{n_1 x_1 + n_2 x_2 + \dots + n_p x_p}{N} = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{p} n_i x_i = \sum_{i=1}^{p} f_i x_i\]Moyenne pondérée (avec coefficients)
C'est la même formule, les coefficients \(c_i\) jouant le rôle des effectifs : \(\bar{x} = \dfrac{\sum c_i x_i}{\sum c_i}\).
Moyenne de données regroupées en classes
Quand les données sont regroupées en classes \([a\,;\,b[\), on remplace chaque classe par son centre \(c = \dfrac{a+b}{2}\), puis on calcule comme avec un tableau d'effectifs. Le résultat est une valeur approchée de la vraie moyenne.
Propriété de linéarité
Si on transforme chaque valeur par \(y_i = a x_i + b\), alors \(\bar{y} = a\,\bar{x} + b\).
Exemple résolu 1 : moyenne pondérée du trimestre
Kofi, en 1ère à Lomé, a obtenu : Maths 14 (coefficient 4), Physique-Chimie 11 (coefficient 3), Français 12 (coefficient 2), Anglais 15 (coefficient 1). Calcule sa moyenne. Cherche d'abord !
Exemple résolu 2 : temps de trajet à Dakar (classes)
On a relevé le temps de trajet (en minutes) de 40 élèves d'un lycée de Dakar :
| Temps (min) | [0 ; 10[ | [10 ; 20[ | [20 ; 30[ | [30 ; 40[ | [40 ; 50[ |
|---|---|---|---|---|---|
| Effectif | 8 | 14 | 10 | 6 | 2 |
| Centre | 5 | 15 | 25 | 35 | 45 |
Calcule une valeur approchée du temps moyen.
Voir la solution
\[\begin{align} \bar{x} &\approx \frac{8 \times 5 + 14 \times 15 + 10 \times 25 + 6 \times 35 + 2 \times 45}{40}\\ &= \frac{40 + 210 + 250 + 210 + 90}{40} = \frac{800}{40} = 20 \end{align}\]Le temps de trajet moyen est d'environ 20 minutes.
Les notes d'Aminata sont 12, 8, 15, 10, 15, 14 et 17. Quelle est sa moyenne ?
La moyenne d'une classe est 11. Le professeur ajoute 1,5 point à chaque copie. Quelle est la nouvelle moyenne ?
2. La médiane : l'élève du milieu
La médiane \(Me\) est une valeur qui partage la série rangée dans l'ordre croissant en deux groupes de même effectif : au moins la moitié des valeurs lui sont inférieures ou égales, et au moins la moitié lui sont supérieures ou égales.
Méthode pour une liste de \(N\) valeurs
- On range les valeurs dans l'ordre croissant.
- Si \(N\) est impair, la médiane est la valeur de rang \(\dfrac{N+1}{2}\).
- Si \(N\) est pair, la médiane est la moyenne des valeurs de rangs \(\dfrac{N}{2}\) et \(\dfrac{N}{2}+1\).
Avec un tableau d'effectifs : les effectifs cumulés croissants
L'effectif cumulé croissant (ECC) d'une valeur est le nombre de données inférieures ou égales à cette valeur. Il permet de trouver directement quelle valeur occupe un rang donné.
Avec des classes : interpolation linéaire
On repère la classe médiane \([a\,;\,b[\), celle où l'ECC dépasse \(\dfrac{N}{2}\). En supposant les données réparties régulièrement dans cette classe :
\[Me \approx a + \frac{\dfrac{N}{2} - E_{\text{avant}}}{n_{\text{classe}}} \times (b - a)\]où \(E_{\text{avant}}\) est l'effectif cumulé juste avant la classe et \(n_{\text{classe}}\) l'effectif de la classe.
Exemple résolu 3 : enfants par famille à Bouaké
Dans un quartier de Bouaké, on a compté le nombre d'enfants de 40 familles :
| Nombre d'enfants \(x_i\) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Effectif \(n_i\) | 4 | 6 | 10 | 12 | 5 | 3 |
| ECC | 4 | 10 | 20 | 32 | 37 | 40 |
Détermine la moyenne et la médiane. Cherche d'abord !
Exemple résolu 4 : médiane du temps de trajet (classes)
Reprends le tableau des 40 élèves de Dakar (exemple 2). Calcule une valeur approchée de la médiane.
Voir la solution
ECC : 8 ; 22 ; 32 ; 38 ; 40. On cherche le rang \(\dfrac{N}{2} = 20\). L'ECC passe de 8 à 22 dans la classe \([10\,;\,20[\) : c'est la classe médiane.
\[Me \approx 10 + \frac{20 - 8}{14} \times 10 = 10 + \frac{120}{14} \approx 18{,}6 \text{ min}\]Environ la moitié des élèves mettent moins de 18,6 minutes.
Série rangée : 8, 10, 12, 14, 15, 15, 17. Quelle est la médiane ?
Série rangée de 6 valeurs : 3, 5, 6, 9, 10, 20. Quelle est la médiane ?
3. Le mode : la valeur la plus populaire
Le mode \(Mo\) d'une série est la valeur qui a le plus grand effectif. Une série peut avoir plusieurs modes (on dit qu'elle est bimodale s'il y en a deux).
Pour des données en classes de même amplitude, on parle de classe modale : la classe de plus grand effectif.
Lire les trois indicateurs sur un diagramme
Voici le diagramme en bâtons de l'exemple 3 (familles de Bouaké). Le bâton le plus haut donne le mode, et le triangle marque la moyenne, point d'équilibre du diagramme.
Sur cette série : \(\bar{x} = 2{,}425\), \(Me = 2{,}5\) et \(Mo = 3\). Les trois indicateurs sont proches, mais différents : chacun répond à une question différente.
Exemple résolu 5 : la couleur de pagne préférée
On a demandé à 30 élèves d'Abidjan leur couleur de pagne préférée : bleu (7), jaune (11), vert (5), rouge (7). Quel indicateur peut-on donner ?
Voir la solution
Le caractère est qualitatif (une couleur) : on ne peut ni additionner ni ranger les couleurs. Seul le mode a un sens : le jaune, avec le plus grand effectif (11).
Dans le tableau des temps de trajet de Dakar (exemple 2), quelle est la classe modale ?
4. Choisir le bon indicateur
Exemple résolu 6 : sensibilité aux valeurs extrêmes
Calcule la moyenne puis la médiane des six salaires ci-dessus. Cherche d'abord !
flowchart TD
A[Quel type de donnees] --> B{Qualitatif}
B -- Oui --> C[Mode]
B -- Non --> D{Valeurs extremes}
D -- Oui --> E[Mediane]
D -- Non --> F[Moyenne et mediane]
On veut résumer le prix d'un terrain dans une ville où quelques villas valent cent fois plus que les autres terrains. Quel indicateur est le plus représentatif ?
Erreurs fréquentes
- Oublier de ranger les valeurs avant de chercher la médiane.
- Diviser par le nombre de valeurs différentes \(p\) au lieu de l'effectif total \(N\) dans une moyenne avec effectifs.
- Confondre le mode (la valeur la plus fréquente) avec son effectif : dans l'exemple 3, le mode est 3 enfants, pas 12.
- Prendre la borne d'une classe au lieu de son centre pour calculer une moyenne de données groupées.
- Croire que la moyenne est toujours une valeur de la série : 2,425 enfants n'est le nombre d'enfants d'aucune famille.
Récapitulatif
- Moyenne : \(\bar{x} = \dfrac{1}{N}\sum n_i x_i\) ; c'est le partage équitable et le point d'équilibre ; elle est sensible aux valeurs extrêmes et vérifie \(\overline{ax+b} = a\bar{x} + b\).
- Médiane : valeur du milieu de la série rangée ; on la trouve avec les rangs et les effectifs cumulés croissants ; elle est robuste.
- Mode : valeur (ou classe) de plus grand effectif ; seul indicateur utilisable pour un caractère qualitatif.
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