Les méthodes de factorisation et de montrer si un nombre est racine
Chasser la racine évidente puis factoriser : la méthode complète pour un polynôme de degré 3
Pour factoriser un polynôme de degré 3, on trouve d'abord un nombre qui l'annule, on le vérifie par le calcul, puis on divise (Horner, division euclidienne ou identification) pour obtenir un produit de facteurs.
Objectifs
- Savoir montrer qu'un nombre donné est racine d'un polynôme, y compris un nombre comme \(\sqrt{2}\).
- Savoir chercher une racine évidente avec méthode, au lieu de tester au hasard.
- Choisir, selon la situation, entre le tableau de Horner, la division euclidienne et l'identification des coefficients.
- Aller jusqu'au bout : factoriser complètement et résoudre l'équation \(P(x)=0\).
1. Ce qu'il faut savoir avant de commencer
Racine d'un polynôme
Un nombre réel \(a\) est une racine du polynôme \(P\) lorsque \(P(a)=0\).
Le théorème qui relie racine et factorisation
Ce théorème donne le plan de travail de tout le chapitre :
flowchart LR A[Chercher a] --> B[Calculer P de a] B -->|P de a = 0| C[Diviser par x - a] B -->|P de a non nul| A C --> D[Obtenir Q de degre 2] D --> E[Factoriser Q avec le discriminant] E --> F[Produit de facteurs]
On sait que \(P(3)=0\). Laquelle de ces écritures est alors possible ?
2. Montrer qu'un nombre est racine
Méthode : on remplace \(x\) par le nombre dans \(P(x)\), on calcule soigneusement, et on conclut par une phrase : « \(P(a)=0\), donc \(a\) est racine de \(P\) ».
Exemple résolu 1 : un nombre entier
Montrer que \(2\) est racine de \(P(x)=2x^3+3x^2-11x-6\).
Voir la solution
\[P(2)=2\times 2^3+3\times 2^2-11\times 2-6=16+12-22-6=0.\]Donc \(2\) est racine de \(P\).
Exemple résolu 2 : un nombre irrationnel
Montrer que \(\sqrt{2}\) est racine de \(R(x)=x^3-x^2-2x+2\).
3. Chercher une racine évidente avec méthode
Règle 1 : la somme des coefficients
\(P(1)\) est simplement la somme des coefficients. Si cette somme vaut 0, alors \(1\) est racine.
Pour \(P(x)=x^3-2x^2-5x+6\) : \(1-2-5+6=0\), donc \(1\) est racine.
Règle 2 : la somme alternée
Pour \(P(-1)\), les termes de degré impair changent de signe. Exemple : pour \(T(x)=x^3+x^2-4x-4\),
\[T(-1)=-1+1+4-4=0,\]donc \(-1\) est racine de \(T\).
Règle 3 : les diviseurs du terme constant
Pourquoi ? Si \(r\) est un entier racine de \(P(x)=a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0\), alors \(a_0=-r\,(a_3r^2+a_2r+a_1)\) : \(a_0\) est \(r\) multiplié par un entier.
Pour \(P(x)=x^3-2x^2-5x+6\), les candidats entiers sont les diviseurs de 6 : \(\pm1,\ \pm2,\ \pm3,\ \pm6\). On teste d'abord les plus petits.
Le polynôme \(x^3+5x^2-2x+6\) a des coefficients entiers. Lequel de ces nombres ne peut PAS être une racine entière ?
Quelle est la racine évidente de \(x^3+2x^2-x-2\) parmi ces nombres ?
4. Diviser : choisir le bon outil
Outil 1 : le tableau de Horner (le plus rapide)
On écrit les coefficients de \(P\) dans l'ordre des puissances décroissantes, sans oublier les zéros. On descend le premier coefficient, puis à chaque colonne : on multiplie par \(a\) le dernier nombre obtenu et on l'ajoute au coefficient suivant.
Exemple : \(P(x)=x^3-2x^2-5x+6\) avec \(a=1\).
On descend le premier coefficient : 1.
On multiplie 1 par \(a=1\) : 1, qu'on ajoute à −2 : on obtient −1.
−1 multiplié par 1 donne −1, ajouté à −5 : on obtient −6.
−6 multiplié par 1 donne −6, ajouté à 6 : on obtient 0. Le reste est nul, ce qui confirme que 1 est racine.
La dernière ligne \(1,\ -1,\ -6\) donne les coefficients du quotient : \(Q(x)=x^2-x-6\), d'où \(P(x)=(x-1)(x^2-x-6)\).
Outil 2 : la division euclidienne posée
Elle ressemble à la division des nombres. Exemple : diviser \(S(x)=x^3-7x+6\) par \(x-1\) (on a bien \(S(1)=1-7+6=0\)).
Outil 3 : l'identification des coefficients
On écrit la forme cherchée avec des inconnues, on développe, puis on égalise les coefficients de même degré. Exemple avec \(T(x)=x^3+x^2-4x-4\) et la racine \(-1\) :
\[T(x)=(x+1)(ax^2+bx+c)=ax^3+(a+b)x^2+(b+c)x+c.\]Avec Horner, on divise \(x^3-3x^2+4\) par \(x-2\). Quel quotient obtient-on ?
5. Aller jusqu'au bout : factorisation complète et résolution
Exemple résolu 3 : résoudre \(x^3-2x^2-5x+6=0\)
Cherche d'abord seul, puis compare.
Voir la solution
On a trouvé \(P(x)=(x-1)(x^2-x-6)\). Pour \(x^2-x-6\) :
\[\Delta=(-1)^2-4\times1\times(-6)=1+24=25,\qquad x_1=\frac{1-5}{2}=-2,\qquad x_2=\frac{1+5}{2}=3.\]Donc \(x^2-x-6=(x+2)(x-3)\) et
\[P(x)=(x-1)(x+2)(x-3).\]Contrôle : \(P(3)=27-18-15+6=0\) et \(P(-2)=-8-8+10+6=0\). Les solutions de \(P(x)=0\) sont \(-2\), \(1\) et \(3\).
Exemple résolu 4 : un coefficient dominant différent de 1
Factoriser complètement \(P(x)=2x^3+3x^2-11x-6\), sachant que \(2\) est racine (exemple 1).
Voir les racines sur la courbe
Les racines sont les abscisses des points où la courbe coupe l'axe horizontal. Avec le curseur \(a=0\), tu vois les trois racines \(-2\), \(1\) et \(3\) de \(x^3-2x^2-5x+6\). Déplace le curseur : la courbe monte ou descend et les racines changent, parfois il n'en reste qu'une.
On sait que \(T(x)=(x+1)(x^2-4)\). Quelles sont les solutions de \(T(x)=0\) ?
Erreurs fréquentes
- Oublier un coefficient nul dans Horner : pour \(x^3-3x^2+4\), il faut écrire \(1,\ -3,\ 0,\ 4\).
- Se tromper de signe dans le facteur : la racine \(-1\) donne le facteur \(x+1\), pas \(x-1\).
- Conclure sans reste nul : si la dernière case de Horner n'est pas 0, le nombre testé n'est pas racine.
- S'arrêter au degré 2 alors que le quotient se factorise encore.
- Croire que la règle des diviseurs garantit une racine : elle indique seulement les candidats entiers possibles.
Récapitulatif
- Montrer que \(a\) est racine : calculer \(P(a)\) et trouver 0.
- Chercher une racine évidente : somme des coefficients (pour 1), somme alternée (pour −1), diviseurs du terme constant.
- Diviser par \(x-a\) : Horner, division euclidienne ou identification.
- Factoriser le quotient de degré 2 avec le discriminant, puis contrôler en développant.
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