Introduction

Les nombres complexes étendent le nombre réel en introduisant une unité imaginaire. Ils sont essentiels en mathématiques, physique et ingénierie pour résoudre des équations polynomiales et modéliser des phénomènes variés.

Définition

Un nombre complexe se note \( z \) et s'écrit sous la forme:

   z = a + bi

• \( a \) est la partie réelle, un réel.
• \( b \) est la partie imaginaire, un réel.
• \( i \) est l'unité imaginaire, définie par \( i^2 = -1 \).

Exemple

Le nombre complexe \( 3 - 2i \) a pour partie réelle 3 et partie imaginaire -2.

Représentation géométrique

On peut représenter un nombre complexe \( z = a + bi \) sur un plan appelé plan complexe.

• Abscisse : \( a \) (partie réelle)
• Ordonnée : \( b \) (partie imaginaire)

Modulus et argument

Le modulus ou norme de \( z \) est :

|z| = \sqrt{a^2 + b^2}

L'argument \( heta \) est l'angle entre le réel positif et le segment [0, \( z \)] dans le plan complexe, et s'obtient par :

	heta = rctan\left(rac{b}{a}
ight) \quad 	ext{(quand } a 
eq 0)

Ce qui permet d'écrire \( z \) en forme trigonométrique :

z = |z| (\cos 	heta + i \sin 	heta)

Opérations sur les nombres complexes

Addition et soustraction

Pour \( z_1 = a_1 + b_1 i \) et \( z_2 = a_2 + b_2 i \):

z_1 + z_2 = (a_1 + a_2) + (b_1 + b_2)i
z_1 - z_2 = (a_1 - a_2) + (b_1 - b_2)i

Multiplication

:

z_1 	imes z_2 = (a_1 a_2 - b_1 b_2) + (a_1 b_2 + a_2 b_1)i

Conjugaison

Le conjugué de \( z = a + bi \) est :

\[ar{z} = a - bi\]

Application

Les nombres complexes permettent de résoudre des équations telles que \( x^2 + 1 = 0 \), qui n'ont pas de solutions dans l'ensemble des nombres réels.