Objectifs

Comprendre ce qu\'est un nombre premier, connaître ses propriétés principales et savoir en reconnaître dans une liste de nombre.

Notions clés

• Nombres entiers naturels : 0, 1, 2, 3, ...
• Nombres premiers : ce sont des nombres entiers naturels supérieurs à 1 qui n\'ont que deux diviseurs positifs : 1 et eux-mêmes.
• Diviseur : un nombre qui divise un autre sans reste.

Définition

Un nombre premier est un nombre entier naturel strictement supérieur à 1, qui possède exactement deux diviseurs positifs distincts : 1 et le nombre lui-même. Par exemple, \(\ce{2}\), \(\ce{3}\), \(\ce{5}\), \(\ce{7}\), ... sont des nombres premiers.

Propriétés importantes

• Propriété 1 : Le nombre 2 est le seul nombre premier pair. Tous les autres nombres premiers sont impairs.
• Propriété 2 : Tout nombre entier supérieur à 1 est soit premier, soit composé (il peut s\'écrire comme le produit de nombres premiers).
• Théorème fondamental : Tout nombre entier supérieur à 1 peut être décomposé de façon unique en facteurs premiers, à l\'ordre près.

Exemples résolus

Vérifions si \(\ce{11}\) est un nombre premier :

1. Il faut tester si \(\ce{11}\) est divisible par un nombre compris entre 2 et \(\sqrt{11}\) (\(\approx 3,3\)).
2. Les nombres à tester : 2 et 3.
3. \( \frac{\ce{11}}{2} \) n\'est pas entier, donc pas divisible.
   \( \frac{\ce{11}}{3} \) n\'est pas entier, donc pas divisible.

Donc : 11 est un nombre premier.

Exemple 2 : Vérifions si \(\ce{12}\) est premier :

1. \(\sqrt{\ce{12}} \approx 3,46\), donc on teste 2 et 3.
   \( \frac{\ce{12}}{2} = 6 \) (entier), donc 2 divise 12.
   = 6, ce qui montre que \(\ce{12}\) n\'est pas premier, mais composé.

Erreurs fréquentes

• Confondre un nombre premier avec un nombre premier pair autre que 2.
• Omettre de tester la divisibilité par tous les nombres jusqu\'à \(\sqrt{n}\).
• Assumer que tous les nombres impairs sont premiers (par exemple : 9 n\'est pas premier).

Résumé

Un nombre premier est un nombre entier supérieur à 1 ayant uniquement deux diviseurs : 1 et lui-même. Le 2 est le seul nombre premier pair. La vérification consiste à tester la divisibilité par tous les nombres entiers jusqu\'à \(\sqrt{n}\). Ces notions sont importantes pour comprendre la structure des nombres et pour la cryptographie.