Objectifs

• Savoir définir un nombre premier.
• Connaître quelques propriétés importantes des nombres premiers.

Notions clés

• Nombre premier : un nombre entier naturel supérieur à 1 qui n’a que deux diviseurs entiers positifs : 1 et lui-même.
• Exemples : 2, 3, 5, 7, 11, 13, ...
• Nombre composé : un nombre naturel supérieur à 1 qui possède d’autres diviseurs que 1 et lui-même.

Exemples résolus

Vérifions si 17 est un nombre premier :

1. On teste si 17 est divisible par un nombre premier inférieur ou égal à \(\sqrt{17}\), c'est-à-dire \(\sqrt{17} \approx 4,12\).
2. Les nombres premiers inférieurs à 4,12 sont 2 et 3.
3. - \(17 \div 2 \neq \text{entier}\), car \(17 \div 2 = 8,5\). - \(17 \div 3 \neq \text{entier}\), car \(17 \div 3 \approx 5,67\).
4. Comme 17 n est divisible par aucun de ces nombres, c’est un nombre premier.

Vérifions si 20 est un nombre premier :

1. Les nombres premiers inférieurs ou égaux à \(\sqrt{20} \approx 4,47\) sont 2 et 3.
2. - \(20 \div 2 = 10\), un entier, donc 20 est divisible par 2.
3. Par conséquent, 20 n’est pas un nombre premier.

Erreurs fréquentes

• Confondre nombre premier et nombre impair. Un exemple : 9 n’est pas premier, mais il est impair.
• Oublier de vérifier la divisibilité par tous les nombres premiers jusqu’à \(\sqrt{N}\).
• Dire qu’un nombre est premier parce qu’il a peu de diviseurs, sans vérification.

Résumé

Un nombre premier est un entier supérieur à 1 qui possède exactement deux diviseurs entiers positifs : 1 et lui-même. Les nombres premiers jouent un rôle fondamental en mathématiques, notamment dans la décomposition des nombres en facteurs premiers.