Qu'est-ce qu'un nombre premier ?

Un nombre premier est un nombre entier supérieur à 1 qui n'a que deux diviseurs : 1 et lui-même. On peut le comparer à une clé unique qui ne peut ouvrir qu’un seul verrou.

Exemples

• 3 est un nombre premier : ses diviseurs sont 1 et 3.
• 6 n'est pas un nombre premier : il a pour diviseurs 1, 2, 3 et 6.
• 13 est un nombre premier : seuls 1 et 13 le divisent.

Les nombres non premiers (composite)

Les nombres qui ont plus de deux diviseurs sont dits composite. Par exemple, 8 a pour diviseurs 1, 2, 4 et 8.

Comment reconnaître un nombre premier ?

Pour vérifier si un nombre \( n \) est premier, il faut s'assurer qu'aucun nombre entier compris entre 2 et \( \sqrt{n} \) ne divise \( n \) sans reste. Si c'est le cas, alors \( n \) est premier.

Par exemple, pour tester 29 : on vérifie si 2, 3, 5 ou 7 divisent 29. Aucun ne le fait, donc 29 est premier.

Propriétés importantes

• Il existe une infinité de nombres premiers. C'est un résultat célèbre provenu d'Euclide.
• Les premiers nombres premiers sont : 2, 3, 5, 7, 11, 13, ...
• Le nombre 2 est le seul nombre premier pair. Tous les autres pairs sont composites.

Applications des nombres premiers

Les nombres premiers sont fondamentaux en cryptographie, notamment pour sécuriser les échanges numériques, comme dans la méthode RSA.