Objectifs

Comprendre comment identifier si un nombre est premier et apprendre différentes méthodes pour rechercher des nombres premiers.

Notions clés

• Nombre premier : un nombre entier naturel supérieur à 1, divisible uniquement par 1 et lui-même.
• Divisibilité : un nombre a est divisible par un nombre b si le reste de la division de a par b est zéro.
• Méthodes de recherche : techniques pour tester si un nombre est premier, comme la division par tous les nombres jusqu'à sa racine carrée.

Exemples résolus

Exemple 1 : Vérifier si \( 29 \) est premier

On teste sa divisibilité par tous les nombres premiers jusqu'à sa racine carrée.

1. Calculons la racine carrée de 29 : \[ \sqrt{29} \approx 5,39 \]
2. Les nombres à tester : 2, 3, 5
3. Testons :

\n- \( 29 \div 2 \) : reste 1, ce n'est pas divisible.\n- \( 29 \div 3 \) : reste 2, ce n'est pas divisible.\n- \( 29 \div 5 \) : reste 4, ce n'est pas divisible.\n

Comme aucune division ne donne un reste nul, 29 est un nombre premier.

Exemple 2 : Vérifier si \( 45 \) est premier

racine carrée de 45 : \[ \sqrt{45} \approx 6,7 \]

1. Les nombres à tester : 2, 3, 5, 7
2. Testons :

\n- \( 45 \div 3 = 15 \) : reste 0, donc 45 est divisible par 3.\n

Donc, 45 n'est pas premier.

Erreurs fréquentes

• Ne pas tester tous les nombres premiers jusqu'à la racine carrée du nombre.
• Confondre divisibilité et division sans reste.
• Oublier que 1 n'est pas un nombre premier.

Récapitulatif

Pour rechercher si un nombre \( n \) est premier, il est efficace de tester sa divisibilité par tous les nombres premiers inférieurs ou égaux à \[ \sqrt{n} \]. Si aucun de ces tests ne donne un reste nul, alors \( n \) est un nombre premier. Sinon, il ne l'est pas.