Objectifs

• Comprendre ce qu sont les nombres premiers
• Découvrir différentes méthodes pour vérifier si un nombre est premier
• Appliquer ces méthodes pour rechercher des nombres premiers

Notions clés

• Nombre premier : un nombre divisible uniquement par 1 et par lui-même, et supérieur à 1.
• Diviseur : un nombre qui divise un autre sans reste.
• Test de divisibilité : méthode pour vérifier si un nombre est divisible par un autre.

Exemples résolus

Exemple 1 : Vérifier si 17 est premier

Il faut tester sa divisibilité par tous les nombres premiers inférieurs ou égaux à \(\sqrt{17}\).

\nCalculons \(\sqrt{17} \approx 4,12\). Les nombres à tester sont 2 et 3.\n- 17 ÷ 2 = 8,5 (pas entier)\n- 17 ÷ 3 ≈ 5,67 (pas entier)\nPuisque 17 n est divisible par aucun de ces nombres, \(\boxed{17 \text{ est premier}}\).

Exemple 2 : Vérifier si 20 est premier

Calculons \(\sqrt{20} \approx 4,47\), on teste les diviseurs 2 et 3 :

\n- 20 ÷ 2 = 10 (entier) \(\Rightarrow 20\) est divisible par 2, donc ce n est pas premier.\n

Par conséquent, 20 n est pas un nombre premier.

Erreurs fréquentes

• N\'essayer de tester la divisibilité par des nombres supérieurs à \(\sqrt{n}\), ce qui est inutile.
• N\'oublier d\'inclure 2 dans les tests, surtout pour les nombres pairs.
• Confondre un nombre divisible par 1 ou lui-même avec un nombre premier (attention aux nombres 1, qui ne sont pas premiers).

Récapitulatif

Pour rechercher si un nombre \(n\) est premier, on vérifie qu\'il n\'est divisible par aucun nombre premier inférieur ou égal à \(\sqrt{n}\). Si aucune division n\'est exacte, alors \(n\) est un nombre premier. Sinon, il ne l\'est pas.