Objectifs

Comprendre comment rechercher si un nombre est premier et connaître différentes méthodes pour le faire.

Notions clés

• Nombre premier : un nombre entier supérieur à 1 qui n'a que deux diviseurs : 1 et lui-même.
• Diviseur : un nombre qui divise un autre nombre sans reste.
• Méthode de test : ensemble de démarches pour vérifier si un nombre est premier.

Exemples résolus

Vérifier si 29 est premier

Il faut tester si 29 est divisible par un nombre entier entre 2 et \(\sqrt{29}\).

\(\sqrt{29} \approx 5,38\), donc on teste avec 2, 3, 4, 5.

• 29 ÷ 2 = 14,5 (pas entier) → pas divisible
• 29 ÷ 3 ≈ 9,67 (pas entier) → pas divisible
• 29 ÷ 4 = 7,25 (pas entier) → pas divisible
• 29 ÷ 5 = 5,8 (pas entier) → pas divisible

Comme 29 n est divisible par aucun de ces nombres, 29 est premier.

Vérifier si 35 est premier

On teste avec 2, 3, 4, 5, \( \sqrt{35} \approx 5,92 \).

• 35 ÷ 2 = 17,5 (pas entier)
• 35 ÷ 3 ≈ 11,67 (pas entier)
• 35 ÷ 4 = 8,75 (pas entier)
• 35 ÷ 5 = 7 (entier) → divisible

Donc, 35 n est pas premier.

Erreurs fréquentes

• Tester uniquement la division par 2 ; il faut tester avec tous les nombres jusqu'à \(\sqrt{N}\).
• Oublier que 1 n'est pas un nombre premier.
• Confondre nombre premier et nombre premier compose, ou croire qu'un nombre est premier sans vérifier.

Récapitulatif

Pour rechercher si un nombre \(N\) est premier :

1. Calculer \(\sqrt{N}\).
2. Tester la divisibilité de \(N\) par tous les entiers compris entre 2 et \(\lfloor \sqrt{N} \rfloor\).
3. Si aucune division ne donne un nombre entier, alors \(N\) est premier.
4. Sinon, \(N\) n’est pas premier.