Les nombres rationnels

Définition

Les nombres rationnels sont des nombres qui peuvent s'écrire sous la forme d'une fraction \(\dfrac{p}{q}\), où p et q sont des entiers, q différent de zéro.

Notation

• Le symbole \(\mathbb{Q}\) désigne l'ensemble des nombres rationnels.
• Un nombre rationnel peut être positif, négatif ou nul.

Exemples

• \(\dfrac{3}{4}\)
• \(-\dfrac{7}{2}\)
• \(0\) (qui peut s'écrire comme \(\dfrac{0}{1}\))
• \(\dfrac{5}{1}\) (qui est égal à 5)

Propriétés importantes

• Les nombres rationnels sont fermés pour l'addition, la soustraction, la multiplication et la division par un nombre différent de zéro.
• Ils peuvent être représentés par une écriture décimale finie ou infinie périodique.

Représentation décimale

Un nombre rationnel peut s'écrire sous forme décimale. Si la représentation décimale est finie ou se répète indéfiniment avec une période, alors le nombre est rationnel.

Conversion d'une fraction en nombre décimal

Pour convertir \(\dfrac{p}{q}\) en décimal, on effectue la division de p par q :

\[ \dfrac{p}{q} = ext{division de p par q} \]

Résumé

Les nombres rationnels sont indispensables en mathématiques car ils permettent de représenter toutes sortes de quantités mesurables et sont la base de beaucoup d'autres concepts comme les nombres décimaux et les fractions.