Les nombres rationnels

Introduction

Les nombres rationnels sont une catégorie de nombres que l'on peut écrire sous la forme d'une fraction. Ce sont des nombres qui peuvent s'exprimer comme le quotient de deux entiers, avec un dénominateur différent de zéro.

Définition

Un nombre rationnel est un nombre qui peut s'écrire sous la forme :

    \[ rac{a}{b} \]

où :

• \(a\) est un entier (positif, négatif ou nul),
• \(b\) est un entier différent de zéro.

Exemples de nombres rationnels

• \( rac{3}{4} \)
• \(-rac{7}{2}\)
• \(0\) (car \(0 = rac{0}{1}\))
• \( rac{5}{1} \) (qui équivaut à 5)

Représentation décimale

Les nombres rationnels ont une représentation décimale qui peut être :

• Terminaison : par exemple, \( rac{1}{2} = 0,5 \)
• Récurrente : par exemple, \( rac{1}{3} = 0,\overline{3} \)

Opérations avec les nombres rationnels

Addition

Pour additionner deux nombres rationnels \( rac{a}{b} \) et \( rac{c}{d} \), on utilise la formule :

    \[ rac{a}{b} + rac{c}{d} = rac{ad + bc}{bd} \]

Soustraction

Similaire à l'addition :

    \[ rac{a}{b} - rac{c}{d} = rac{ad - bc}{bd} \]

Multiplication

Pour multiplier deux nombres rationnels :

    \[ rac{a}{b} 	imes rac{c}{d} = rac{ac}{bd} \]

Division

Pour diviser un nombre rationnel par un autre, on multiplie par son inverse :

    \[ rac{a}{b} \div rac{c}{d} = rac{a}{b} 	imes rac{d}{c} = rac{ad}{bc} \]

Conclusion

Les nombres rationnels sont importants en mathématiques car ils permettent d'exprimer des quantités précises et de faire des calculs exacts. Ils incluent tous les nombres pouvant s'écrire sous forme de fraction avec des entiers.