Les nombres rationnels : écrire, comparer et calculer
Les nombres rationnels : écrire, comparer et calculer avec des fractions
Un nombre rationnel est un nombre qui peut s'écrire comme le quotient de deux entiers, \(\frac{a}{b}\) avec \(b \neq 0\) ; on apprend à le simplifier, à le comparer et à calculer avec lui.
Objectifs
- Reconnaître un nombre rationnel et situer l'ensemble \(\mathbb{Q}\) par rapport à \(\mathbb{N}\), \(\mathbb{Z}\) et \(\mathbb{D}\).
- Simplifier une fraction jusqu'à sa forme irréductible et gérer les signes.
- Comparer deux nombres rationnels.
- Additionner, soustraire, multiplier et diviser des nombres rationnels en respectant les priorités.
1. Qu'est-ce qu'un nombre rationnel ?
Un nombre rationnel est un nombre qui peut s'écrire sous la forme
\[ \frac{a}{b} \quad \text{avec } a \text{ et } b \text{ des entiers relatifs et } b \neq 0. \]\(a\) est le numérateur, \(b\) le dénominateur. L'ensemble des nombres rationnels se note \(\mathbb{Q}\).
- Tout entier est rationnel : \(5 = \frac{5}{1}\) et \(-2 = \frac{-2}{1}\).
- Tout décimal est rationnel : \(-0{,}75 = \frac{-75}{100} = -\frac{3}{4}\).
- Certains rationnels ne sont pas décimaux : \(\frac{1}{3} = 0{,}333\ldots\) (les 3 ne s'arrêtent jamais).
Les ensembles s'emboîtent comme des calebasses rangées les unes dans les autres :
\[ \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \](\(\mathbb{N}\) : entiers naturels, \(\mathbb{Z}\) : entiers relatifs, \(\mathbb{D}\) : décimaux.)
Lequel de ces nombres est rationnel mais n'est PAS décimal ?
2. Égalité, simplification et signes
On ne change pas un rationnel en multipliant ou en divisant son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul \(k\) :
\[ \frac{a}{b} = \frac{a \times k}{b \times k} \]Une fraction est irréductible quand on ne peut plus la simplifier : le numérateur et le dénominateur n'ont plus de diviseur commun autre que 1. Pour l'obtenir en une fois, on divise par leur PGCD.
Règle des signes :
\[ \frac{-a}{b} = \frac{a}{-b} = -\frac{a}{b} \qquad \frac{-a}{-b} = \frac{a}{b} \]Exemple résolu : simplifier
Rends irréductible \(\frac{-18}{24}\). Cherche d'abord.
À quoi est égal \(\frac{-15}{-25}\) ?
3. Comparer deux nombres rationnels
- Avec le même dénominateur positif, le plus grand est celui qui a le plus grand numérateur : \(\frac{5}{7} > \frac{3}{7}\).
- Sinon, on écrit les deux nombres avec un dénominateur commun, puis on compare les numérateurs.
- Un nombre positif est toujours plus grand qu'un nombre négatif.
Exemple résolu : comparer
Compare (a) \(\frac{5}{6}\) et \(\frac{7}{9}\) ; (b) \(-\frac{2}{3}\) et \(-\frac{3}{4}\).
Voir la solution
(a) Dénominateur commun 18 :
\[ \frac{5}{6} = \frac{15}{18} \qquad \frac{7}{9} = \frac{14}{18} \qquad \text{donc } \frac{5}{6} > \frac{7}{9}. \]Fatou a mis plus de sirop.
(b) Dénominateur commun 12 :
\[ -\frac{2}{3} = -\frac{8}{12} \qquad -\frac{3}{4} = -\frac{9}{12} \qquad \text{donc } -\frac{2}{3} > -\frac{3}{4}. \]Pour les négatifs, c'est celui qui est le plus près de 0 qui est le plus grand.
Quel est le plus grand nombre ?
4. Calculer avec des nombres rationnels
Addition et soustraction
On met au même dénominateur, puis on additionne (ou soustrait) les numérateurs ; le dénominateur ne change pas :
\[ \frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a + b}{c} \]Multiplication
On multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux :
\[ \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d} \]Inverse et division
L'inverse de \(\frac{a}{b}\) (avec \(a \neq 0\)) est \(\frac{b}{a}\) : leur produit vaut 1. Diviser par un nombre, c'est multiplier par son inverse :
\[ \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} \quad (c \neq 0) \]Priorités
Comme pour les entiers : d'abord les parenthèses, puis les multiplications et divisions, enfin les additions et soustractions.
Exemple résolu 1 : addition et soustraction
Calcule \(A = \frac{2}{3} + \frac{5}{4}\) et \(B = \frac{3}{4} - \frac{5}{6}\).
Exemple résolu 2 : multiplication et division
Calcule \(C = \frac{4}{9} \times \frac{15}{8}\) et \(D = -\frac{3}{5} \div \frac{9}{10}\). Cherche d'abord.
Exemple résolu 3 : priorités
Calcule \(E = \frac{1}{2} + \frac{3}{2} \times \frac{4}{9}\).
Voir la solution
\begin{align} E &= \frac{1}{2} + \frac{3 \times 4}{2 \times 9} = \frac{1}{2} + \frac{12}{18} \\ &= \frac{1}{2} + \frac{2}{3} = \frac{3}{6} + \frac{4}{6} = \frac{7}{6} \end{align}On a fait la multiplication avant l'addition.
Exemple résolu 4 : l'argent de Moussa
Combien vaut \(\frac{2}{5} \div \frac{4}{3}\) ?
Erreurs fréquentes
- Additionner les numérateurs ET les dénominateurs : \(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \neq \frac{2}{5}\).
- Oublier que diviser revient à multiplier par l'inverse (et inverser la mauvaise fraction).
- Se tromper d'ordre avec les négatifs : \(-\frac{3}{4} \lt -\frac{2}{3}\).
- Simplifier par un nombre qui ne divise que le numérateur ou que le dénominateur.
- Faire l'addition avant la multiplication dans un calcul sans parenthèses.
Récapitulatif
- Un rationnel s'écrit \(\frac{a}{b}\) avec \(a, b\) entiers et \(b \neq 0\) ; \(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q}\).
- On simplifie en divisant numérateur et dénominateur par le même nombre (le PGCD pour aller au plus vite).
- Pour comparer, additionner ou soustraire : même dénominateur d'abord.
- Multiplier : en haut par en haut, en bas par en bas. Diviser : multiplier par l'inverse.
Teste tes connaissances sur ce cours
Crée ton compte gratuitement pour accéder aux quiz associés et suivre ta progression.