Les nombres rationnels et irrationnels : Décimales, approximations et densité – Mathematiques

Découvrir pourquoi les décimales, les approximations et la densité des rationalisés et irrationnels déterminent la façon dont on mesure et représente les nombres.

Objectifs

Comprendre la différence entre nombres rationnels et irrationnels et leur écriture en base 10.
Qualifier une écriture décimale finie ou répétée et donner les critères avec les dénominateurs.
Comprendre la notion de densité: entre tout pair de réels, trouver un autre nombre rationnel; et comprendre que les irrationnels existent aussi partout.
Savoir effectuer des approximations et reconnaître leurs limites.

Notions clés

Notion: un nombre \(\\frac{p}{q}\) (en forme irréductible) a une écriture décimale finie si et seulement si \(q\) est de la forme \(2^a 5^b\).

Rationalité et densité: les nombres rationnels sont denses sur la droite réelle: pour tout \(a

Décimales et approximations: une écriture décimale peut être soit finie soit infinie et périodique pour les rationnels. Si l écriture est finie, le nombre est rationnel; si elle est non répétitive et non périodique, le nombre est irrationnel (ex. \(\\sqrt{2}\)).

Exemple résolu : décimal d'un nombre rationnel et densité

Étape 1 : Prenons le nombre \(\\frac{1}{8} = 0.125\). Sa décimale est finie car le dénominateur est de la forme \(2^3\).

Étape 2 : Pour montrer la densité, on peut construire un rationnel entre deux réels \(a \\left\\lceil na \\\right\\rceil\). Alors posons \(p = \\left\\lfloor na \\\right\\rfloor + 1\). Alors \(a < \\frac{p}{n} < b\).

Voir la solution

Pour démontrer la densité des rationnels : soit \(a \\left\\lceil na \\\right\\rceil\). Alors posons \(p = \\left\\lfloor na \\\right\\rfloor + 1\). On obtient \(a < \\frac{p}{n} < b\). Cette construction montre qu'il existe un rationnel entre deux réels.

Lequel des nombres suivants est irrationnel ?

\( \sqrt{2} \)
\( \\frac{3}{4} \)
3.14

L irrationnel est \(\\sqrt{2}\); les deux autres sont rationnels.

Notion

Densité: entre deux réels, il existe un rationnel.

Notion

Écriture décimale finie: dénominateur de la forme \(2^a 5^b\).

Notion

Un nombre rationnel peut avoir une écriture décimale finie ou répétitive.

Ligne numérique avec rationnels et irrationnels illustrant la densité sur R

Récapitulatif

Les nombres rationnels se caractérisent par des écritures décimales finies ou périodiques, tandis que les irrationnels ont des décimales non répétitives. Les rationnels sont denses sur la droite réelle, ce qui signifie qu’entre deux réels il existe toujours un rationnel. Les approximations permettent d’obtenir des valeurs approchées et utiles en pratique.

Cartes mémo

Notion

Densité: entre deux réels, il existe un rationnel.

Notion

Écriture décimale finie: dénominateur de la forme \(2^a 5^b\).

Notion

Un nombre rationnel peut avoir une écriture décimale finie ou répétitive.