Les nombres rationnels et irrationnels — Décimales, approximations et densité

Tout nombre réel est soit rationnel soit irrationnel. Les décimales peuvent être finies, périodiques ou non périodiques; les rationnels sont denses dans les réels et on peut les approcher par des fractions simples.

Objectifs

Différencier nombres rationnels et irrationnels.
Comprendre les décimales finies et périodiques et les critères de finitude.
Énoncer et illustrer la densité des rationnels dans les réels et les notions d’approximation.
Réaliser des résolutions simples avec des démonstrations et des exemples numérateurs.

Notions clés

Les notions clés sur les décimales et les rationnels s’expriment en LaTeX :

Un nombre rationnel s’écrit sous forme \(\( \dfrac{p}{q} \)\) et son développement décimal est soit fini, soit périodique. On peut écrire :

Relation: \(\( \exists n \in \mathbb{N}, \ q \mid 10^n \) si et seulement si le développement décimal est fini.\)

Exemples résolus

Exemple 1 : décimale finie et périodique

On cherche l’expansion de \(\dfrac{7}{12}\).

Étape 1 : calculer les décimales étape par étape : 70 ÷ 12 = 5 reste 10, puis 100 ÷ 12 = 8 reste 4, puis 40 ÷ 12 = 3 reste 4.

Étape 2 : la suite des restes se répète, donc la décimale est périodique et s’écrit \(0.58\overline{3}\).

Quel est le développement décimal de \(\dfrac{1}{3}\) ?

0.3333...
0.3333 avec une fin
0.3 puis fin
0.3331...

C’est un développement périodique avec un seul chiffre qui se répète: \(0.\overline{3}\).

Voir la solution

Pour \(\dfrac{7}{12}\): on obtient 0;5 (70 ÷ 12), ensuite 0;58 (100 ÷ 12), puis 0;583… avec 3 qui se répète car le reste 4 se produit à nouveau.

Erreurs fréquentes

Confondre décimales finies et irréelles; une décimale finie est un cas particulier de rationnel.
Supposer qu’un nombre irrationnel a une décimale qui se termine ou se répète.
Penser que la densité implique qu’on peut écrire n’importe quel réel comme une fraction simple; c’est vrai pour les rationnels mais pas pour les irrationnels.

Récapitulatif

Les nombres rationnels s’écrivent \(\dfrac{p}{q}\) avec \(p,q \in \mathbb{Z}\) et \(q \neq 0\).
Une expansion décimale est finie si et seulement si le dénominateur après réduction est de la forme \(2^a 5^b\).
Les nombres irrationnels ont une décimale non périodique, comme \(\sqrt{2}\) ou \(\pi\).
La droite réelle est densément peuplée de rationnels : entre deux réels quelconques il existe toujours un rationnel.