Objectifs

• Comprendre ce qu'est un nombre rationnel et comment il peut être écrit.
• Savoir écrire un nombre rationnel sous forme de fraction et sous forme décimale.
• Faire le lien entre les écritures et les propriétés: finitude et période des décimales.
• Justifier qu'un nombre est rationnel lorsqu'il peut s’écrire comme le quotient d’entiers.

Notions clés

Un nombre rationnel est un nombre qui peut s’écrire sous la forme d’un quotient de deux entiers, c’est-à-dire rationnel: \(\displaystyle \frac{a}{b}\) avec \(a\in\mathbb{Z}, b\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}\).

Écritures et propriétés principales :

• Écriture en fraction: \(\frac{a}{b}\) avec \(b\neq 0\).
• Écriture en décimale: tout nombre rationnel est soit une décimale finie soit une décimale périodique.

Exemples résolus

Erreurs fréquentes

• Confondre les décimales périodiques avec des décimales finies: une décimale finie est aussi rationnelle, mais une périodique est aussi rationnelle (ex. \(0.3\overline{3} = 0.333... = \frac{1}{3}\)).
• Penser qu’un nombre ne peut pas être rationnel s’il est dérivé d’un calcul long sans vérifier l’existence d’un quotient entier: il suffit de trouver \(a,b\) tels que \(\frac{a}{b} = x\).
• Oublier que le dénominateur ne peut pas être nul: \(b\neq 0\).

Récapitulatif

Un nombre est rationnel s’il peut s’écrire sous la forme \(\frac{a}{b}\) avec \(a,b\in\mathbb{Z}\) et \(b\neq 0\). Il peut se représenter par une décimale finie ou une décimale périodique. Tout entier est aussi un rationnel, écrit comme \(\frac{n}{1}\).

Cartes mémo

Mini-quiz de vérification

Schéma : droite numérique des nombres rationnels