Notions sur les nombres rationnels et irrationnels

Comprendre ce qu’est un nombre rationnel et savoir l’écrire sous différentes formes.

Objectifs

Définir ce qu’est un nombre rationnel et distinguer des nombres irrationnels.
Écrire un nombre rationnel sous forme \(\\frac{p}{q}\) et sous forme décimale.
Réduire une écriture de fraction et comprendre quand une écriture décimale est finie ou infinie répétée.

Notions clés

Un nombre rationnel est un nombre qui peut s’écrire sous la forme \(\frac{p}{q}\) avec p et q des entiers et q ≠ 0, et gcd(p,q) = 1 pour une écriture irréductible. Cette écriture est appelée écriture fractionnaire.

Écriture alternative en décimales : un nombre rationnel peut s’écrire en décimal fini ou en décimal périodique (répété). Par exemple, \(\frac{3}{4} = 0.75\) et \(\frac{1}{3} = 0.\overline{3}\).

Énumération rapide des propriétés à connaître :

Tout entier est rationnel, car \(n = \frac{n}{1}\).
Après simplification, un dénominateur ne peut pas être nul.
Une écriture décimale est finie si le dénominateur après simplification est de la forme \(2^a 5^b\).

Notons une définition formelle: un nombre rationnel est un nombre qui peut s’écrire sous la forme \(\frac{p}{q}\) avec p, q ∈ Z et q ≠ 0.

Écriture d’exemples et de résultats importants : \[ \frac{3}{4} = 0.75 \] \[ \frac{1}{3} = 0.\overline{3} \]

Parmi les affirmations suivantes, laquelle est vraie ?

0 est irrationnel.
\(\frac{2}{5}\) est un nombre rationnel.
√2 est rationnel.

La bonne réponse est la 2, car \(\frac{2}{5}\) est une fraction et donc un nombre rationnel.

Voir la solution du mini-quiz

Pour rappel: un nombre est rationnel s’il peut être écrit sous forme \(\frac{p}{q}\) avec p et q entiers et q ≠ 0.

Étape 1: déterminer si le dénominateur a des facteurs autres que 2 et 5 après simplification.

Étape 2: si oui, la décimale est périodique; sinon elle est finie.

Rationnel

Nombre s’écrivant sous \(\frac{p}{q}\) avec p, q ∈ Z et q ≠ 0

Irrationnel

Nombre qui ne peut pas s’écrire sous \(\frac{p}{q}\) et dont la décimale n’est pas périodique

Exemples résolus

Exemple 1: écrire 0.75 sous forme de fraction

Étape 1: \(0.75 = \frac{75}{100}\)

Étape 2: réduire par leur PGCD (75 et 100 ont pour PGCD 25)

Étape 3: \(\frac{75}{100} = \frac{3}{4}\)

Exemple 2: écrire une écriture décimale répétée

\(\frac{1}{3} = 0.\overline{3}\) montre que la décimale est périodique.

Erreurs fréquentes

Confondre décimal et nombre irréel: 0.333... est rationnel (il équivaut à \(\frac{1}{3}\)).
Supposer que tout nombre entier est irrationnel.
Oublier que le dénominateur ne peut pas être nul.

Récapitulatif

Un nombre rationnel: peut s’écrire sous la forme \(\frac{p}{q}\) avec p, q ∈ Z et q ≠ 0.
Les entiers sont des rationnels: n = \frac{n}{1}.
Décimales finies si le dénominateur (après simplification) est de la forme \(2^a 5^b\); sinon décimales périodiques.