Les Nombres Rationnels

Introduction

Les nombres rationnels sont un ensemble de nombres que l'on peut exprimer sous la forme d'une fraction. Ces nombres sont très importants en mathématiques car ils permettent de représenter des quantités précises, comme des mesures ou des proportions.

Définition

Un nombre rationnel est un nombre qui peut s'écrire sous la forme :

 \[\displaystyle rac{a}{b}\]

où a et b sont des entiers, et b ≠ 0.

Exemples :

• 1/2, 3/4, -5/6, 7/1 (qui est 7), 0 (qui peut s’écrire 0/1).

Propriétés importantes

• Les nombres rationnels incluent tous les entiers.
  • Par exemple, l’entier 3 peut s’écrire 3/1.
• Les décimales finies ou périodiques correspondent aussi à des nombres rationnels.
  • Exemple : 0,75 = \(\displaystyle rac{75}{100}\) = \(\displaystyle rac{3}{4}\).
  • Exemple : 0,333... (période 3) = \(\displaystyle rac{1}{3}\).
• Les nombres rationnels peuvent être représentés sur la droite numérique.

Conversion d’un nombre décimal en fraction

Pour convertir un nombre décimal en fraction :

1. Vérifier si c’est un nombre décimal fini ou périodique.
2. Pour un nombre décimal fini, écrire la fraction avec le dénominateur qui est une puissance de 10.
   Exemple : 0,6 = \(\displaystyle rac{6}{10}\) = \(\displaystyle rac{3}{5}\) après simplification.
3. Pour un nombre périodique, utiliser la méthode algebraïque ou les formules de conversion.

Résumé

Les nombres rationnels sont essentiels pour représenter des quantités précises. Ils se notent \(\displaystyle rac{a}{b}\) avec a et b entiers et b ≠ 0, et comprennent tous les entiers, ainsi que certains nombres décimaux finies ou périodiques.

Exercices

1. Écrire en fraction : 0,8 ; 0,125 ; 0,666...
2. Convertir 7/8 en nombre décimal.
3. Représenter le nombre \(\displaystyle rac{4}{5}\) sur la droite numérique.