Statistiques : les opérations sur les données

Pour résumer une série de données, on compte les effectifs, on calcule les fréquences et la moyenne : c'est comme faire l'inventaire d'une boutique pour comprendre ce qui s'y passe en un coup d'œil.

Objectifs

Connaître le vocabulaire : population, individu, caractère, valeur, effectif.
Construire un tableau d'effectifs et calculer l'effectif total.
Calculer une fréquence sous forme de fraction, de nombre décimal et de pourcentage.
Calculer la moyenne d'une série, y compris à partir d'un tableau d'effectifs.
Lire et construire un diagramme en bâtons.

1. Le vocabulaire et le tableau d'effectifs

La population est l'ensemble étudié : les 20 élèves de la classe.
Un individu est un élément de la population : un élève.
Le caractère est ce que l'on étudie : le nombre de frères et sœurs.
Les valeurs du caractère sont les réponses possibles : 0, 1, 2, 3, 4.
L'effectif d'une valeur est le nombre de fois où elle apparaît.
L'effectif total est la somme de tous les effectifs : le nombre d'individus.

Exemple résolu : construire le tableau d'effectifs

Range les 20 réponses d'Awa dans un tableau d'effectifs. Cherche d'abord, puis dévoile les étapes.

On liste les valeurs possibles dans l'ordre : 0, 1, 2, 3, 4.

On compte chaque valeur en barrant les réponses au fur et à mesure : 0 apparaît 2 fois, 1 apparaît 5 fois, 2 apparaît 6 fois, 3 apparaît 4 fois, 4 apparaît 3 fois.

On vérifie l'effectif total : \[ 2 + 5 + 6 + 4 + 3 = 20 \] C'est bien le nombre d'élèves.

Nombre de frères et sœurs	0	1	2	3	4	Total
Effectif	2	5	6	4	3	20

Dans le tableau d'Awa, que signifie le nombre 6 placé sous la valeur 2 ?

6 élèves ont été interrogés
6 élèves ont exactement 2 frères et sœurs
2 élèves ont 6 frères et sœurs

6 est l'effectif de la valeur 2 : c'est le nombre d'élèves qui ont répondu « 2 ».

2. Les fréquences

La fréquence d'une valeur est la part de la population qui a cette valeur :

\[ \text{fréquence} = \frac{\text{effectif de la valeur}}{\text{effectif total}} \]

Elle s'écrit sous forme de fraction, de nombre décimal (entre \(0\) et \(1\)) ou de pourcentage (en multipliant par \(100\)).

Pour les deux classes : 5^e A : \(\frac{10}{40} = 0{,}25 = 25\,\%\) ; 5^e B : \(\frac{8}{20} = 0{,}4 = 40\,\%\). Le vélo est donc plus utilisé en 5^e B.

Exemple résolu : le tableau des fréquences

Complète la ligne des fréquences du tableau d'Awa, en écriture décimale puis en pourcentage. Cherche d'abord.

Voir la solution

On divise chaque effectif par l'effectif total \(20\) :

\[ \frac{2}{20} = 0{,}10 \qquad \frac{5}{20} = 0{,}25 \qquad \frac{6}{20} = 0{,}30 \qquad \frac{4}{20} = 0{,}20 \qquad \frac{3}{20} = 0{,}15 \]

Valeur	0	1	2	3	4	Total
Effectif	2	5	6	4	3	20
Fréquence	\(0{,}10\)	\(0{,}25\)	\(0{,}30\)	\(0{,}20\)	\(0{,}15\)	\(1\)
Fréquence en %	\(10\,\%\)	\(25\,\%\)	\(30\,\%\)	\(20\,\%\)	\(15\,\%\)	\(100\,\%\)

Vérification : \(10 + 25 + 30 + 20 + 15 = 100\).

Sur 36 élèves, 9 portent des lunettes. Quelle est la fréquence des élèves à lunettes ?

\(25\,\%\)
\(9\,\%\)
\(36\,\%\)

\(\frac{9}{36} = \frac{1}{4} = 0{,}25\), soit \(25\,\%\).

3. Le diagramme en bâtons

Dans un diagramme en bâtons, on place les valeurs sur l'axe horizontal et, pour chaque valeur, on trace un bâton dont la hauteur est proportionnelle à l'effectif. Construisons celui de la classe d'Awa :

On choisit une échelle (ici, un élève correspond à la même hauteur partout) et on trace les bâtons des valeurs 0 et 1, de hauteurs 2 et 5.

Le bâton de la valeur 2 est le plus haut (effectif 6) : c'est la valeur la plus fréquente de la série.

On termine avec les valeurs 3 et 4 (effectifs 4 et 3) : le diagramme montre toute la série.

Dans un diagramme en bâtons, que représente la hauteur d'un bâton ?

La valeur du caractère
L'effectif total
L'effectif de la valeur correspondante

La valeur se lit sur l'axe horizontal ; la hauteur du bâton est proportionnelle à l'effectif de cette valeur.

4. La moyenne

La moyenne d'une série est le nombre obtenu en divisant la somme de toutes les valeurs par le nombre de valeurs :

\[ \text{moyenne} = \frac{\text{somme des valeurs}}{\text{nombre de valeurs}} \]

Pour les quatre amis : \[ \frac{300 + 500 + 200 + 600}{4} = \frac{1600}{4} = 400 \] Chacun recevrait \(400\) F CFA.

flowchart LR
  A[Additionner toutes les valeurs] --> B[Compter le nombre de valeurs]
  B --> C[Diviser la somme par ce nombre]
  C --> D[Vérifier que la moyenne est entre la plus petite et la plus grande valeur]

Exemple résolu 1 : la moyenne de Kofi

Kofi a obtenu en mathématiques les notes \(12\), \(15\), \(9\) et \(14\) sur \(20\). Calcule sa moyenne. Cherche d'abord.

Somme des notes : \[ 12 + 15 + 9 + 14 = 50 \]

Nombre de notes : \(4\).

Moyenne : \[ \frac{50}{4} = 12{,}5 \] La moyenne de Kofi est \(12{,}5\) sur \(20\). Elle est bien comprise entre \(9\) et \(15\).

Exemple résolu 2 : la moyenne à partir d'un tableau d'effectifs

Calcule le nombre moyen de frères et sœurs dans la classe d'Awa. Cherche d'abord.

Chaque valeur se répète autant de fois que son effectif : on multiplie chaque valeur par son effectif. \[ 0 \times 2 + 1 \times 5 + 2 \times 6 + 3 \times 4 + 4 \times 3 \]

\[ 0 + 5 + 12 + 12 + 12 = 41 \]

On divise par l'effectif total : \[ \frac{41}{20} = 2{,}05 \]

En moyenne, un élève de la classe a \(2{,}05\) frères et sœurs. Une moyenne n'est pas forcément une valeur de la série.

À toi : le prix moyen des mangues

Au marché de Bobo-Dioulasso, cinq vendeuses proposent le tas de mangues à \(100\), \(150\), \(100\), \(200\) et \(150\) F CFA. Quel est le prix moyen d'un tas ?

Voir la solution

\[ \frac{100 + 150 + 100 + 200 + 150}{5} = \frac{700}{5} = 140 \]

Le prix moyen d'un tas est de \(140\) F CFA.

Les températures à Niamey sur 5 jours sont \(38\), \(40\), \(41\), \(39\) et \(42\) °C. Quelle est la température moyenne ?

\(41\) °C
\(40\) °C
\(200\) °C

\(\frac{38 + 40 + 41 + 39 + 42}{5} = \frac{200}{5} = 40\). \(200\) est la somme, pas la moyenne.

Erreurs fréquentes

Récapitulatif

Population, individu, caractère, valeur, effectif : le vocabulaire de base.
Effectif total \(=\) somme des effectifs.
Fréquence \(= \frac{\text{effectif}}{\text{effectif total}}\), à écrire aussi en pourcentage ; la somme des fréquences vaut \(1\) (\(100\,\%\)).
Moyenne \(= \frac{\text{somme des valeurs}}{\text{nombre de valeurs}}\) ; avec un tableau, on multiplie chaque valeur par son effectif puis on divise par l'effectif total.
Le diagramme en bâtons montre les effectifs de chaque valeur.

Effectif

Nombre de fois où une valeur apparaît

Effectif total

Somme de tous les effectifs : le nombre d'individus

Fréquence

\(\frac{\text{effectif}}{\text{effectif total}}\), entre \(0\) et \(1\), ou en pourcentage

Moyenne

\(\frac{\text{somme des valeurs}}{\text{nombre de valeurs}}\)

Moyenne avec effectifs

\(\frac{\text{somme des valeurs} \times \text{effectifs}}{\text{effectif total}}\)

Diagramme en bâtons

Hauteur de chaque bâton proportionnelle à l'effectif