Les plans et leurs équations

Un plan de l'espace est une « feuille infinie » : on le décrit soit par un point et deux directions (représentation paramétrique), soit par une seule égalité \(ax+by+cz+d=0\) (équation cartésienne).

Objectifs

Savoir comment un plan est déterminé dans l'espace.
Écrire une représentation paramétrique d'un plan.
Passer d'une représentation paramétrique à une équation cartésienne.
Vérifier si un point appartient à un plan et reconnaître des plans parallèles.

1. Se repérer dans l'espace et définir un plan

On munit l'espace d'un repère \((O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})\) : trois axes qui partent du point \(O\), comme le coin de la salle d'où partent deux bords du sol et l'arête verticale du mur. Chaque point \(M\) a trois coordonnées \(M(x;y;z)\).

Un plan est déterminé par :

trois points non alignés \(A\), \(B\), \(C\) ;
ou un point \(A\) et deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) non colinéaires (deux directions différentes), appelés vecteurs directeurs du plan.

Avec un point \(A\) et deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\), quand définit-on bien un plan ?

Quand \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires
Quand \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) ne sont pas colinéaires
Toujours

Deux vecteurs colinéaires donnent une seule direction : on obtient une droite, pas un plan. Il faut deux directions différentes.

2. Représentation paramétrique d'un plan

Le point \(M(x;y;z)\) appartient au plan passant par \(A(x_A;y_A;z_A)\), de vecteurs directeurs \(\vec{u}(a;b;c)\) et \(\vec{v}(a';b';c')\), si et seulement s'il existe deux réels \(t\) et \(s\) tels que \(\overrightarrow{AM}=t\,\vec{u}+s\,\vec{v}\), c'est-à-dire :

\[ \begin{cases} x = x_A + t\,a + s\,a'\\ y = y_A + t\,b + s\,b'\\ z = z_A + t\,c + s\,c' \end{cases} \qquad t\in\mathbb{R},\ s\in\mathbb{R} \]

Exemple résolu 1

Écrire une représentation paramétrique du plan \(\mathcal{P}\) passant par \(A(1;0;2)\), de vecteurs directeurs \(\vec{u}(1;1;0)\) et \(\vec{v}(0;1;1)\). Cherche d'abord.

Les vecteurs ne sont pas colinéaires : si \(\vec{v}=k\,\vec{u}\), la première coordonnée donne \(0=k\) et la deuxième donne \(1=k\), ce qui est impossible.

On applique la formule : \(x = 1 + t\), \(y = 0 + t + s\), \(z = 2 + s\).

\[\mathcal{P} :\ \begin{cases} x = 1 + t\\ y = t + s\\ z = 2 + s \end{cases}\qquad t, s \in\mathbb{R}\]

Contrôle : avec \(t=0\) et \(s=0\), on retrouve bien \(A(1;0;2)\).

Dans l'exemple 1, quel point obtient-on avec \(t=1\) et \(s=2\) ?

\((2;3;4)\)
\((2;2;4)\)
\((3;3;4)\)

\(x=1+1=2\), \(y=1+2=3\), \(z=2+2=4\). Le point \((2;3;4)\) est dans le plan.

3. Équation cartésienne d'un plan

Méthode pour passer de la représentation paramétrique à l'équation cartésienne : on exprime \(t\) et \(s\) à l'aide de deux équations, puis on les remplace dans la troisième. Les paramètres disparaissent : on dit qu'on les élimine.

flowchart LR
A[Point et deux vecteurs] --> B[Representation parametrique]
B --> C[Exprimer t et s]
C --> D[Remplacer dans la 3e ligne]
D --> E[Equation ax plus by plus cz plus d egal 0]

Exemple résolu 2

Trouver une équation cartésienne du plan \(\mathcal{P}\) de l'exemple 1.

De \(x = 1 + t\), on tire \(t = x - 1\). De \(z = 2 + s\), on tire \(s = z - 2\).

On remplace dans \(y = t + s\) : \(y = (x-1) + (z-2)\).

On regroupe tout à gauche : \[x - y + z - 3 = 0\]

Vérification avec \(A(1;0;2)\) : \(1 - 0 + 2 - 3 = 0\). Avec le point \((2;3;4)\) : \(2 - 3 + 4 - 3 = 0\). Les deux points vérifient l'équation.

Coupes horizontales du plan

Coupons le plan \(x - y + z - 3 = 0\) par le plan horizontal \(z = k\), comme on regarde un seul étage d'un immeuble. On obtient \(y = x + k - 3\) : une droite. Fais varier \(k\) : les droites restent parallèles, elles montent d'un étage à l'autre.

Appartenance d'un point

Soit le plan \(\mathcal{Q} : 2x + y - 3z - 3 = 0\).

Voir la solution : \(B(2;-1;0)\) et \(C(1;1;1)\) sont-ils dans \(\mathcal{Q}\) ?

Pour \(B\) : \(2\times 2 + (-1) - 3\times 0 - 3 = 4 - 1 - 0 - 3 = 0\). Donc \(B\in\mathcal{Q}\).

Pour \(C\) : \(2\times 1 + 1 - 3\times 1 - 3 = -3 \neq 0\). Donc \(C\notin\mathcal{Q}\).

Quel point appartient au plan \(x - y + z - 3 = 0\) ?

\((0;0;0)\)
\((1;1;1)\)
\((3;0;0)\)

\(3 - 0 + 0 - 3 = 0\). Pour \((0;0;0)\) on trouve \(-3\), pour \((1;1;1)\) on trouve \(-2\).

4. Plan passant par trois points

Exemple résolu 3

Trouver une équation du plan \((ABC)\) avec \(A(1;0;0)\), \(B(0;2;0)\), \(C(0;0;3)\).

On place les trois points, chacun sur un axe : ils ne sont pas alignés.

Le triangle ABC est un morceau du plan cherché, comme la tôle posée sur les trois piquets.

Les calculs ci-dessous donnent l'équation du plan qui prolonge ce triangle.

Vecteurs directeurs : \(\overrightarrow{AB}(-1;2;0)\) et \(\overrightarrow{AC}(-1;0;3)\). Ils ne sont pas colinéaires : si \(\overrightarrow{AC}=k\,\overrightarrow{AB}\), la première coordonnée donne \(k=1\) et la deuxième donne \(0=2k\), soit \(k=0\) : impossible.

Représentation paramétrique : \(x = 1 - t - s\), \(y = 2t\), \(z = 3s\).

On élimine : \(t = \dfrac{y}{2}\) et \(s = \dfrac{z}{3}\), donc \(x = 1 - \dfrac{y}{2} - \dfrac{z}{3}\).

On multiplie par 6 : \(6x = 6 - 3y - 2z\), soit \[6x + 3y + 2z - 6 = 0\]

Vérification : \(A\) donne \(6 - 6 = 0\), \(B\) donne \(6 - 6 = 0\), \(C\) donne \(6 - 6 = 0\).

5. Plans particuliers et plans parallèles

\(z = 0\) : le plan \((O;\vec{i},\vec{j})\), le « sol » du repère.
\(z = 3\) : le plan horizontal à la hauteur 3, parallèle au sol.
\(x = 0\) : le plan \((O;\vec{j},\vec{k})\) ; \(y = 0\) : le plan \((O;\vec{i},\vec{k})\).

Quel plan est parallèle à \(x - y + z - 3 = 0\) ?

\(x + y + z = 0\)
\(-2x + 2y - 2z + 5 = 0\)
\(x - y - z - 3 = 0\)

\((-2;2;-2) = -2\times(1;-1;1)\) : les coefficients sont proportionnels, les plans sont parallèles.

Erreurs fréquentes

Choisir deux vecteurs directeurs colinéaires : on décrit alors une droite.
Utiliser la même lettre \(t\) pour les deux paramètres : il en faut deux différents, \(t\) et \(s\).
Oublier de vérifier l'équation trouvée avec les points de départ.
Croire qu'une équation cartésienne est unique : on peut la multiplier par n'importe quel réel non nul.

Récapitulatif

Un plan est défini par trois points non alignés, ou par un point et deux vecteurs non colinéaires.
Représentation paramétrique : \(\overrightarrow{AM} = t\,\vec{u} + s\,\vec{v}\), avec deux paramètres réels.
Équation cartésienne : \(ax + by + cz + d = 0\), obtenue en éliminant \(t\) et \(s\).
Un point est dans le plan si ses coordonnées vérifient l'équation.
Coefficients \((a;b;c)\) proportionnels : plans parallèles.

Déterminer un plan

Trois points non alignés, ou un point et deux vecteurs non colinéaires.

Représentation paramétrique

\(\overrightarrow{AM} = t\,\vec{u} + s\,\vec{v}\), avec \(t, s \in \mathbb{R}\).

Équation cartésienne

\(ax + by + cz + d = 0\), avec \(a\), \(b\), \(c\) non tous nuls.

Appartenance

On remplace \(x\), \(y\), \(z\) dans l'équation : on doit trouver 0.

Plans parallèles

Triplets \((a;b;c)\) proportionnels.