Les plans et leurs équations dans l’espace

Introduction

Dans l’espace, un plan est une surface illimitée qui possède une épaisseur nulle. Il peut être défini par une équation mathématique, ce qui facilite sa représentation et son étude.

Notion de plan dans l’espace

Un plan est une surface plane, infinie dans toutes les directions.
Il est caractérisé par une normale, c’est-à-dire un vecteur perpendiculaire à sa surface.

Equation d’un plan

Dans un espace tridimensionnel, un plan peut s’écrire sous la forme suivante :

Forme cartésienne

Si le plan passe par un point $A(x_0, y_0, z_0)$ et possède une normale $ ec{n} = (a, b, c) $, son équation est :

$a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0$

Forme simplifiée

En développant, cela donne :

$ax + by + cz + d = 0$

où $d = - (ax_0 + by_0 + cz_0)$.

Exemple

Le plan passant par $A(1, 2, 3)$ et dont la normale est $ec{n} = (4, -2, 1)$ a pour équation :

4(x - 1) - 2(y - 2) + 1(z - 3) = 0

Ce qui se développe en :

4x - 4 - 2y + 4 + z - 3 = 0

Soit : $\[ 4x - 2y + z - 3 = 0 \]$

Résumé

Un plan dans l’espace est défini par un point et une normale.
L’équation cartésienne d’un plan est de la forme $ax + by + cz + d = 0$.
Connaître l’équation d’un plan permet de déterminer sa position dans l’espace.