Les plans et leurs équations dans l’espace (niveau 2nde)

Les plans et leurs équations dans l’espace

Introduction

Dans l’espace, un plan est une surface bidimensionnelle infinie qui possède une certaine orientation. Comprendre comment définir un plan par des équations est essentiel en géométrie dans l’espace.

Notion de plan

Un plan peut être défini par plusieurs méthodes :

Par une normale (vecteur perpendiculaire au plan) et un point.
Par une équation.

Equation d’un plan

Définition

Si un point \( A_0 (x_0, y_0, z_0) \) appartient au plan, et si \(ec{n} = (a, b, c)\) est un vecteur normal au plan, alors l’équation est :

\[ a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0 \]

Forme générale de l’équation

On peut écrire aussi l’équation sous la forme :

\[ ax + by + cz + d = 0 \]

où \(a, b, c\) sont les coordonnées du vecteur normal \(ec{n}\) et \(d\) est un réel lié au point \(A_0\).

Exemple

Soit le point \(A(1, 2, 3)\) et le vecteur normal \(ec{n} = (2, -1, 3)\). L’équation du plan est :

\[ 2(x - 1) - 1(y - 2) + 3(z - 3) = 0 \]

En développant :

\[ 2x - 2 - y + 2 + 3z - 9 = 0 \Rightarrow 2x - y + 3z - 9 = 0 \]

Résumé

Une équation de plan s’obtient à partir d’un point et d’un vecteur normal.
Elle peut s’écrire sous la forme \(a x + b y + c z + d= 0\).
Le vecteur normal est perpendiculaire au plan.