Les polynômes : degré, racines et factorisation

Un polynôme est une somme de termes de la forme \( a x^{n} \) ; si \( a \) est une racine de \( P \), c'est-à-dire si \( P(a) = 0 \), alors on peut mettre \( (x - a) \) en facteur, ce qui permet de factoriser, de résoudre \( P(x) = 0 \) et d'étudier le signe de \( P(x) \).

Objectifs

Reconnaître un polynôme, donner son degré et ses coefficients.
Utiliser l'égalité de deux polynômes (identification des coefficients).
Calculer avec les polynômes : somme, produit, degré du résultat.
Savoir que \( a \) racine de \( P \) équivaut à \( P(x) = (x-a)Q(x) \), et trouver \( Q \) (identification ou méthode de Horner).
Effectuer une division euclidienne simple et étudier le signe d'un polynôme factorisé.

Notions clés

1. Définition, degré, coefficients

On appelle polynôme (ou fonction polynôme) toute fonction \( P \) définie sur \( \mathbb{R} \) par

\[ P(x) = a_n x^{n} + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0 \]

où \( n \) est un entier naturel et \( a_0, a_1, \dots, a_n \) sont des nombres réels appelés coefficients. Si \( a_n \neq 0 \), l'entier \( n \) est le degré de \( P \), noté \( \deg P \), et \( a_n \) est le coefficient dominant.

\( P(x) = 4x^{3} - x + 7 \) est de degré 3 ; ses coefficients sont \( 4 \), \( 0 \) (pour \( x^{2} \)), \( -1 \) et \( 7 \).
Un polynôme constant non nul est de degré 0 ; le polynôme nul n'a pas de degré.
\( \dfrac{1}{x} + x \) et \( \sqrt{x} + 1 \) ne sont pas des polynômes : les puissances de \( x \) doivent être des entiers naturels.

Laquelle de ces expressions est un polynôme ?

\( 3x^{2} - \sqrt{2}\,x + 1 \)
\( \dfrac{2}{x} + 5 \)
\( \sqrt{x} + x^{2} \)

Le coefficient \( \sqrt{2} \) est un nombre réel : aucun problème. En revanche \( \dfrac{2}{x} = 2x^{-1} \) et \( \sqrt{x} \) ne sont pas des puissances entières naturelles de \( x \).

2. Égalité de deux polynômes

Exemple : si \( ax^{2} + bx + c = 3x^{2} - 5 \) pour tout \( x \), alors \( a = 3 \), \( b = 0 \) et \( c = -5 \). C'est la méthode des coefficients indéterminés : on compare les coefficients terme à terme, comme on compare deux factures ligne par ligne.

3. Opérations et degré

Somme : \( \deg(P + Q) \leq \max(\deg P, \deg Q) \) (le degré peut baisser si les termes dominants s'annulent).
Produit : \( \deg(P \times Q) = \deg P + \deg Q \).

Quel est le degré de \( (x^{2} + 1)(2x^{3} - x) \) ?

Le degré d'un produit est la somme des degrés : \( 2 + 3 = 5 \). Le terme dominant est \( x^{2} \times 2x^{3} = 2x^{5} \).

4. Racine et factorisation par \( (x - a) \)

Le réel \( a \) est une racine (ou un zéro) de \( P \) si \( P(a) = 0 \).

flowchart LR
  A[Polynome P de degre 3] --> B[Chercher une racine evidente a]
  B --> C[Verifier P de a egal 0]
  C --> D[Trouver Q par identification ou Horner]
  D --> E[Factoriser Q de degre 2]
  E --> F[Toutes les racines et le signe]

La méthode de Horner

Pour diviser \( P \) par \( (x - a) \), on écrit les coefficients de \( P \) (sans en oublier, même nuls). On abaisse le premier ; puis, à chaque colonne, on multiplie le dernier résultat par \( a \) et on l'ajoute au coefficient suivant. La dernière case donne \( P(a) \) ; les autres sont les coefficients de \( Q \).

Observe les racines du polynôme \( 2x^{3} - 3x^{2} - 11x + k \) : pour \( k = 6 \), la courbe coupe l'axe des abscisses en \( -2 \), \( \frac{1}{2} \) et \( 3 \). Fais varier \( k \) pour voir les racines bouger.

Soit \( P(x) = x^{3} - 2x^{2} + x - 2 \). Lequel de ces nombres est une racine de \( P \) ?

\( 1 \)
\( 2 \)
\( -1 \)

\( P(2) = 8 - 8 + 2 - 2 = 0 \). En revanche \( P(1) = -2 \) et \( P(-1) = -6 \).

5. Division euclidienne

Pour deux polynômes \( A \) et \( B \) avec \( B \) non nul, il existe un unique couple \( (Q, R) \) tel que

\[ A(x) = B(x)\,Q(x) + R(x) \quad \text{avec} \quad R = 0 \ \text{ou} \ \deg R < \deg B \]

C'est comme partager 47 mangues entre 5 enfants : \( 47 = 5 \times 9 + 2 \), et le reste 2 est plus petit que 5.

Exemple : \( x^{3} + 2x^{2} - x + 5 = (x^{2} + 1)(x + 2) + (-2x + 3) \). Le quotient est \( x + 2 \) et le reste \( -2x + 3 \), de degré \( 1 < 2 \).

Si \( 4x^{2} + bx - 1 = 4x^{2} - 1 \) pour tout réel \( x \), que vaut \( b \) ?

\( 4 \)
\( -1 \)
\( 0 \)

Par identification, le coefficient de \( x \) à droite est \( 0 \), donc \( b = 0 \).

Exemples résolus

Exemple 1 : factoriser par identification

Soit \( P(x) = x^{3} - 7x + 6 \). Vérifie que \( 1 \) est racine, puis factorise \( P \) complètement.

Étape 1 : \( P(1) = 1 - 7 + 6 = 0 \), donc \( P(x) = (x - 1)(ax^{2} + bx + c) \).

Étape 2 : on développe : \( (x - 1)(ax^{2} + bx + c) = ax^{3} + (b - a)x^{2} + (c - b)x - c \).

Étape 3 : on identifie avec \( x^{3} + 0x^{2} - 7x + 6 \) : \[ \begin{align} a &= 1 \\ b - a &= 0 \;\Rightarrow\; b = 1 \\ c - b &= -7 \;\Rightarrow\; c = -6 \\ -c &= 6 \quad \text{(vérification)} \end{align} \]

Étape 4 : on factorise \( x^{2} + x - 6 \). Ses racines ont pour somme \( -1 \) et pour produit \( -6 \) : ce sont \( 2 \) et \( -3 \). Donc \( x^{2} + x - 6 = (x - 2)(x + 3) \) et \( P(x) = (x - 1)(x - 2)(x + 3) \).

Étape 5 : les racines de \( P \) sont \( 1 \), \( 2 \) et \( -3 \). Contrôle : \( P(2) = 8 - 14 + 6 = 0 \) et \( P(-3) = -27 + 21 + 6 = 0 \).

Exemple 2 : la méthode de Horner

Soit \( P(x) = 2x^{3} - 3x^{2} - 11x + 6 \). Montre que \( 3 \) est racine et trouve \( Q \) tel que \( P(x) = (x - 3)Q(x) \).

Cherche d'abord, puis ouvre la solution.

Voir la solution

	\( x^{3} \)	\( x^{2} \)	\( x \)	constante
Coefficients de \( P \)	\( 2 \)	\( -3 \)	\( -11 \)	\( 6 \)
\( \times 3 \) puis on ajoute		\( 6 \)	\( 9 \)	\( -6 \)
Résultats	\( 2 \)	\( 3 \)	\( -2 \)	\( 0 \)

La dernière case vaut \( 0 = P(3) \) : \( 3 \) est bien racine. Donc \( Q(x) = 2x^{2} + 3x - 2 \) et

\[ P(x) = (x - 3)(2x^{2} + 3x - 2) = (x - 3)(2x - 1)(x + 2) \]

Vérification : \( (2x - 1)(x + 2) = 2x^{2} + 4x - x - 2 = 2x^{2} + 3x - 2 \). Les racines sont \( -2 \), \( \frac{1}{2} \) et \( 3 \).

Exemple 3 : signe d'un polynôme factorisé

Étudie le signe de \( P(x) = (x - 3)(2x - 1)(x + 2) \), puis résous \( P(x) > 0 \).

Voir la solution

\( x \)	\( ]-\infty ; -2[ \)	\( ]-2 ; \frac{1}{2}[ \)	\( ]\frac{1}{2} ; 3[ \)	\( ]3 ; +\infty[ \)
\( x + 2 \)	\( - \)	\( + \)	\( + \)	\( + \)
\( 2x - 1 \)	\( - \)	\( - \)	\( + \)	\( + \)
\( x - 3 \)	\( - \)	\( - \)	\( - \)	\( + \)
\( P(x) \)	\( - \)	\( + \)	\( - \)	\( + \)

Contrôle : \( P(0) = 6 > 0 \) (0 est dans \( ]-2 ; \frac{1}{2}[ \)) et \( P(1) = 2 - 3 - 11 + 6 = -6 < 0 \). Donc \( P(x) > 0 \) pour \( x \in \,]-2 ; \frac{1}{2}[\, \cup \,]3 ; +\infty[ \).

Erreurs fréquentes

Oublier un coefficient nul dans la méthode de Horner : pour \( x^{3} - 7x + 6 \), il faut écrire \( 1,\ 0,\ -7,\ 6 \).
Se tromper de signe : si \( a \) est racine, on factorise par \( (x - a) \) ; pour la racine \( -2 \), le facteur est \( (x + 2) \).
Croire que \( \deg(P + Q) = \deg P + \deg Q \) : c'est vrai pour le produit, pas pour la somme.
Diviser au lieu d'identifier : écrire « \( P(x) \div (x - a) \) » sans vérifier d'abord que \( P(a) = 0 \).
Dans un tableau de signes, oublier une racine ou ne pas les ranger dans l'ordre croissant.

Récapitulatif

\( P(x) = a_n x^{n} + \dots + a_0 \), degré \( n \) si \( a_n \neq 0 \).
Deux polynômes égaux ont les mêmes coefficients (identification).
\( \deg(PQ) = \deg P + \deg Q \) ; \( \deg(P + Q) \leq \max(\deg P, \deg Q) \).
\( P(a) = 0 \iff P(x) = (x - a)Q(x) \), avec \( \deg Q = \deg P - 1 \).
Division euclidienne : \( A = BQ + R \) avec \( \deg R < \deg B \).

Degré d'un polynôme

La plus grande puissance de x dont le coefficient n'est pas nul.

Identification

Deux polynômes égaux pour tout x ont les mêmes coefficients, puissance par puissance.

Racine

Nombre a tel que P(a) = 0 ; alors P(x) = (x − a) Q(x).

Méthode de Horner

Tableau des coefficients : on abaisse, on multiplie par a, on ajoute. Dernière case = P(a).

Division euclidienne

A = BQ + R, avec R nul ou de degré strictement inférieur à celui de B.