Objectifs

• Factoriser un trinôme avec le discriminant et utiliser la somme et le produit des racines.
• Déterminer des coefficients inconnus d'un polynôme à partir de ses racines.
• Résoudre un problème concret qui mène à un polynôme de degré 3, et reconnaître une racine double.
• Résoudre une équation bicarrée par changement d'inconnue.
• Simplifier une fraction rationnelle et résoudre une inéquation avec un quotient.

Ce cours complète le cours de base (définition, degré, identification, méthode de Horner, division euclidienne) : il montre comment ces outils servent à résoudre.

1. Le trinôme du second degré, brique de toutes les factorisations

Soit \(T(x) = ax^2 + bx + c\) avec \(a \neq 0\). Sa forme canonique est :

Le discriminant \(\Delta\) décide de tout :

Exemple résolu 1

Factoriser \(T(x) = 2x^2 - 5x - 3\), puis vérifier avec la somme et le produit. Cherche d'abord.

2. Trouver des coefficients inconnus à partir des racines

Méthode : si \(\alpha\) est racine de \(P\), alors \(P(\alpha) = 0\). Avec deux coefficients inconnus, deux racines données fournissent un système de deux équations.

Exemple résolu 2

Soit \(P(x) = x^3 + ax^2 + bx - 6\). Déterminer \(a\) et \(b\) pour que \(1\) et \(-2\) soient racines de \(P\), puis factoriser \(P\). Cherche d'abord.

3. Un problème concret : la boîte en carton

Le volume, en \(\mathrm{cm^3}\), est donc :

Exemple résolu 3 : obtenir 128 cm³

Pour quelle valeur de \(x\) la boîte a-t-elle un volume de \(128\ \mathrm{cm^3}\) ? Cherche d'abord.

Ce que révèle la racine double

On a \(V(x) - 128 = 4(x - 2)^2(x - 8)\). Sur \(]0 ; 6[\), \((x - 2)^2 \geq 0\) et \(x - 8 < 0\), donc \(V(x) - 128 \leq 0\) : le volume ne dépasse jamais \(128\ \mathrm{cm^3}\), et cette valeur est atteinte seulement pour \(x = 2\). La courbe touche la droite \(y = 128\) sans la traverser.

Déplace le curseur \(k\) : la droite \(y = k\) coupe la courbe en deux points si \(k < 128\), la touche en un seul point si \(k = 128\), et ne la rencontre plus au-dessus.

4. Les équations bicarrées : un degré 4 qui cache un degré 2

Une équation bicarrée s'écrit \(ax^4 + bx^2 + c = 0\). Méthode :

1. Poser \(X = x^2\), avec \(X \geq 0\).
2. Résoudre \(aX^2 + bX + c = 0\).
3. Garder seulement les solutions \(X \geq 0\), puis revenir à \(x\) : \(x^2 = X\) donne \(x = \sqrt{X}\) ou \(x = -\sqrt{X}\).

Exemple résolu 4

Résoudre \(x^4 - 5x^2 + 4 = 0\), puis l'inéquation \(x^4 - 5x^2 + 4 < 0\).

5. Fractions rationnelles : simplifier et étudier le signe

Une fraction rationnelle est une fonction \(F(x) = \dfrac{P(x)}{Q(x)}\), où \(P\) et \(Q\) sont des polynômes, \(Q\) non nul. Elle est définie pour les réels \(x\) tels que \(Q(x) \neq 0\).

Méthode : factoriser le numérateur et le dénominateur, écrire l'ensemble de définition avant de simplifier, puis simplifier par les facteurs communs.

Exemple résolu 5

Soit \(F(x) = \dfrac{x^2 - 4}{x^2 + x - 6}\). Donner son ensemble de définition, la simplifier, puis résoudre \(F(x) \geq 0\). Cherche d'abord.

Erreurs fréquentes

• Oublier le coefficient \(a\) dans la factorisation : \(2x^2 - 5x - 3 = 2(x - 3)\left(x + \frac{1}{2}\right)\), et non \((x - 3)\left(x + \frac{1}{2}\right)\).
• Confondre les signes dans la somme des racines : \(x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}\).
• Garder une racine qui ne respecte pas les contraintes du problème (ici \(x = 8\)).
• Dans une équation bicarrée, garder une solution \(X < 0\).
• Simplifier une fraction rationnelle avant d'écrire son ensemble de définition, et perdre une valeur interdite.

Récapitulatif

• Trinôme : \(\Delta = b^2 - 4ac\) ; \(T(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\) si \(\Delta > 0\) ; \(x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}\), \(x_1 x_2 = \dfrac{c}{a}\).
• Coefficients inconnus : chaque racine \(\alpha\) donne l'équation \(P(\alpha) = 0\).
• Racine double : le facteur \((x - \alpha)^2\) ne change pas de signe, la courbe touche l'axe sans le traverser.
• Bicarrée : \(X = x^2 \geq 0\), on résout en \(X\), puis \(x = \pm\sqrt{X}\).
• Fraction rationnelle : ensemble de définition d'abord, puis factoriser, simplifier, étudier le signe.