Les puissances dans ℝ : règles de calcul et écriture scientifique

Une puissance est une multiplication répétée écrite en abrégé : \(a^n\) veut dire « \(a\) multiplié \(n\) fois par lui-même » ; quatre ou cinq règles suffisent pour calculer avec elles, y compris avec des exposants négatifs, et pour écrire très simplement des nombres immenses ou minuscules.

Objectifs

Connaître la définition de \(a^n\), de \(a^0\) et de \(a^{-n}\).
Appliquer les règles : produit, quotient, puissance d'une puissance, puissance d'un produit et d'un quotient.
Déterminer le signe d'une puissance d'un nombre négatif, et distinguer \((-3)^2\) de \(-3^2\).
Écrire un nombre en écriture scientifique et calculer avec des puissances de 10.

Notions clés

1. Définition : une multiplication répétée

Pour un réel \(a\) et un entier naturel \(n \geq 1\) :

\[ a^n = \underbrace{a \times a \times \dots \times a}_{n \text{ facteurs}} \qquad a \text{ est la base, } n \text{ est l'exposant.} \]

Pour Fatou : à l'étape 5, l'information atteint \(3^5 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 243\) nouvelles personnes.

Conventions, pour \(a \neq 0\) :

\[ a^1 = a, \qquad a^0 = 1, \qquad a^{-n} = \frac{1}{a^n}. \]

2. Pourquoi \(a^0 = 1\) et \(a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}\) ?

\(2^3 = 8\), puis on divise par 2 : \(2^2 = 4\).

On divise encore par 2 : \(2^1 = 2\).

Encore : \(2^0 = 2 \div 2 = 1\). Voilà pourquoi \(a^0 = 1\).

Encore : \(2^{-1} = \dfrac{1}{2}\), puis \(2^{-2} = \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{2^2}\). Un exposant négatif donne l'inverse, pas un nombre négatif.

Observe la courbe de \(a^x\) : quelle que soit la base \(a > 0\), elle passe par le point \((0 ; 1)\), car \(a^0 = 1\).

Combien vaut \(5^{-2}\) ?

\(\dfrac{1}{25}\)
\(-25\)
\(-10\)
\(\dfrac{1}{10}\)

\(5^{-2} = \dfrac{1}{5^2} = \dfrac{1}{25}\). L'exposant négatif donne l'inverse ; il ne rend pas le nombre négatif.

3. Les règles de calcul

Pour \(a \neq 0\), \(b \neq 0\) et des entiers relatifs \(m\), \(n\) :

\[ \begin{align} a^m \times a^n &= a^{m+n} & \frac{a^m}{a^n} &= a^{m-n} \\ \left(a^m\right)^n &= a^{m \times n} & (a \times b)^n &= a^n \times b^n \\ \left(\frac{a}{b}\right)^n &= \frac{a^n}{b^n} \end{align} \]

Exemple résolu 1 : simplifier des expressions numériques

Calcule \(A = \dfrac{2^3 \times 2^{-5}}{2^{-4}}\), \(B = \left(3^2\right)^3 \times 3^{-4}\), \(C = (-2)^3 \times 5^3\) et \(D = \dfrac{6^4}{2^4 \times 3^2}\).

\(A = \dfrac{2^{3 + (-5)}}{2^{-4}} = \dfrac{2^{-2}}{2^{-4}} = 2^{-2 - (-4)} = 2^2 = 4\).

\(B = 3^{2 \times 3} \times 3^{-4} = 3^6 \times 3^{-4} = 3^{6 - 4} = 3^2 = 9\).

\(C = \left((-2) \times 5\right)^3 = (-10)^3 = -1\,000\) (même exposant : on regroupe les bases).

\(D = \dfrac{(2 \times 3)^4}{2^4 \times 3^2} = \dfrac{2^4 \times 3^4}{2^4 \times 3^2} = 3^{4 - 2} = 9\).

Exemple résolu 2 : simplifier une expression littérale

Pour \(x \neq 0\) et \(y \neq 0\), écris \(E = \left(x^2 y^{-1}\right)^3 \times x^{-4} y^5\) sous la forme \(x^p y^q\).

Voir la solution

\[ \begin{align} E &= x^{2 \times 3}\, y^{-1 \times 3} \times x^{-4}\, y^5 \\ &= x^{6} y^{-3} \times x^{-4} y^{5} \\ &= x^{6 - 4}\, y^{-3 + 5} = x^2 y^2 \end{align} \]

On traite chaque base séparément : les \(x\) avec les \(x\), les \(y\) avec les \(y\).

Combien vaut \(2^3 \times 2^4\) ?

\(2^{12}\)
\(4^7\)
\(2^7\)
\(4^{12}\)

Même base : on additionne les exposants, \(2^{3+4} = 2^7 = 128\). La base ne change pas, et on ne multiplie pas les exposants.

Pour \(a \neq 0\), \(\left(a^3\right)^4\) est égal à :

\(a^7\)
\(a^{81}\)
\(4a^3\)
\(a^{12}\)

Puissance d'une puissance : on multiplie les exposants, \(a^{3 \times 4} = a^{12}\).

4. Le signe d'une puissance

Si \(a > 0\), \(a^n > 0\) pour tout entier \(n\).
Si \(a < 0\) : \(a^n\) est positif si \(n\) est pair, négatif si \(n\) est impair. Exemples : \((-2)^4 = 16\) et \((-2)^3 = -8\).

Combien vaut \(-3^2\) ?

\(9\)
\(-9\)
\(-6\)
\(6\)

La puissance est prioritaire sur le signe moins : \(-3^2 = -(3^2) = -9\). Pour obtenir \(9\), il faut écrire \((-3)^2\).

5. Puissances de 10 et écriture scientifique

\(10^n = 1\underbrace{0 \dots 0}_{n \text{ zéros}}\) et \(10^{-n} = 0{,}\underbrace{0 \dots 0}_{n - 1 \text{ zéros}}1\). Par exemple \(10^3 = 1\,000\) et \(10^{-3} = 0{,}001\).

L'écriture scientifique d'un nombre positif est \(a \times 10^n\), avec \(1 \leq a < 10\) et \(n\) entier relatif.

\[ 4\,500\,000\,000 = 4{,}5 \times 10^9 \qquad 0{,}000\,072 = 7{,}2 \times 10^{-5} \]

Exemple résolu 3 : calculer en écriture scientifique

Donne l'écriture scientifique de \(F = (3 \times 10^4) \times (5 \times 10^{-7})\) et de \(G = \dfrac{8 \times 10^6}{2 \times 10^{-2}}\).

On regroupe. \(F = (3 \times 5) \times 10^{4 + (-7)} = 15 \times 10^{-3}\).

On ajuste. \(15\) n'est pas entre 1 et 10 : \(15 = 1{,}5 \times 10^1\), donc \(F = 1{,}5 \times 10^{1 - 3} = 1{,}5 \times 10^{-2}\).

Quotient. \(G = \dfrac{8}{2} \times 10^{6 - (-2)} = 4 \times 10^{8}\).

Exemple résolu 4 : la feuille pliée

Une feuille de papier a une épaisseur de \(0{,}1\ \mathrm{mm}\). À chaque pliage en deux, l'épaisseur double. Quelle épaisseur obtiendrait-on après 10 pliages (si c'était possible) ?

Voir la solution

Après 10 pliages, l'épaisseur est multipliée par \(2^{10} = 1\,024\) :

\[ 0{,}1 \times 2^{10} = 0{,}1 \times 1\,024 = 102{,}4\ \mathrm{mm} \approx 1{,}0 \times 10^2\ \mathrm{mm}, \]

soit environ 10 cm. La croissance par puissances surprend : 10 doublements multiplient par plus de mille.

Quelle est l'écriture scientifique de \(0{,}000\,72\) ?

\(72 \times 10^{-5}\)
\(7{,}2 \times 10^{-4}\)
\(0{,}72 \times 10^{-3}\)
\(7{,}2 \times 10^{4}\)

La première et la troisième réponse ont la bonne valeur mais pas la bonne forme : le nombre devant la puissance de 10 doit être entre 1 et 10. On déplace la virgule de 4 rangs vers la droite : \(7{,}2 \times 10^{-4}\).

Erreurs fréquentes

Récapitulatif

\(a^n\) : \(n\) facteurs égaux à \(a\) ; \(a^0 = 1\) et \(a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}\) (pour \(a \neq 0\)).
Même base : \(a^m a^n = a^{m+n}\), \(\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\) ; \(\left(a^m\right)^n = a^{mn}\).
Même exposant : \((ab)^n = a^n b^n\) et \(\left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}\).
Base négative : exposant pair, résultat positif ; exposant impair, résultat négatif. \((-3)^2 = 9\) mais \(-3^2 = -9\).
Écriture scientifique : \(a \times 10^n\) avec \(1 \leq a < 10\).

Puissance zéro

\(a^0 = 1\) pour tout \(a \neq 0\)

Exposant négatif

\(a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}\) : c'est un inverse, pas un nombre négatif

Produit et quotient de même base

\(a^m a^n = a^{m+n}\) et \(\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\)

Puissance d'une puissance

\(\left(a^m\right)^n = a^{mn}\)

Signe de \((-a)^n\) avec \(a > 0\)

Positif si \(n\) est pair, négatif si \(n\) est impair

Écriture scientifique

\(a \times 10^n\) avec \(1 \leq a < 10\), par exemple \(4{,}5 \times 10^9\)