Les règles des puissances permettent de simplifier les calculs avec des exposants.

Les puissances : règles de base

Objectifs

Puissance : une expression de la forme \( a^n \) où \( a \) est la base et \( n \) l'exposant (ou puissance).
Exposant : indique le nombre de fois que la base est multipliée par elle-même.
Règles de calcul : règles pour manipuler les puissances, comme
- \( a^m \times a^n = a^{m+n} \)
- \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \)
- \( (a^m)^n = a^{m \times n} \)
- \( a^0 = 1 \) (pour \( a \neq 0 \))
- \( a^{-n} = \frac{1}{a^n} \)

Utiliser la règle : \( a^m \times a^n = a^{m+n} \)

On a : \( a^3 \times a^5 = a^{3+5} = a^{8} \)

Voir la solution

La clé est d'additionner les exposants : \( a^3 \times a^5 = a^{3+5} = a^{8} \).

Utiliser la règle : \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \)

On a : \( \frac{2^7}{2^3} = 2^{7-3} = 2^4 \)

Voir la solution

Il suffit de soustraire les exposants : \( 2^{7-3} = 2^4 \).

Utiliser la règle : \( (a^m)^n = a^{m \times n} \)

On a : \( (3^2)^4 = 3^{2 \times 4} = 3^8 \)

Voir la solution

Il faut multiplier les exposants : \( 2 \times 4 = 8 \), donc \( (3^2)^4 = 3^8 \).

Confondre multiplication et addition d'exposants : \( a^m \times a^n \neq a^{m \times n} \).
Oublier que \( a^0 = 1 \) si \( a \neq 0 \).
Ne pas respecter les règles de parenthèse, surtout dans \( (a^m)^n \).

Puissance

Expression avec base et exposant : \( a^n \).

Règle 1

Multiplication : \( a^m \times a^n = a^{m+n} \).

Règle 2

Division : \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \).

Règle 3

Puissance d'une puissance : \( (a^m)^n = a^{m \times n} \).

Exposant zéro

\( a^0 = 1 \) (pour \( a \neq 0 \)).

Exposant négatif

\( a^{-n} = \frac{1}{a^n} \).