Introduction

Les puissances sont des expressions qui permettent de représenter un nombre répété plusieurs fois par multiplication.

Définition d'une puissance

Une puissance s'écrit sous la forme : \( a^n \), où a est la base et n l'exposant :

• Si a est un nombre réel, on dit que \( a^n \) est une puissance de a.
• Si l'n est un entier naturel, alors \( a^n = a imes a imes \dots imes a \) (n fois).

Les règles des puissances

1. Produit de puissances de même base

Pour tout \( a eq 0 \) et deux entiers naturels \( m \) et \( n \) :

\[ a^m imes a^n = a^{m+n} \]

2. Quotient de puissances de même base

Pour tout \( a eq 0 \) et deux entiers naturels \( m \) et \( n \) :

\[ rac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \]

3. Puissance d'une puissance

Pour tout \( a eq 0 \) et deux entiers naturels \( m \) et \( n \) :

\[ (a^m)^n = a^{m imes n} \]

4. Produit d'une puissance par un nombre

Pour tout nombre réel \( a \) (et \( a eq 0 \)) et tout entier naturel \( n \) :

\[ c imes a^n = ( ext{si } c = a^k,\ ext{alors on peut écrire} )\]

5. Puissance d'un produit

Pour tout nombre réel \( a, b \) et tout entier naturel \( n \) :

\[ (ab)^n = a^n imes b^n \]

6. Puissance de 0 et 1

• \[ 0^n = 0 \], pour tout \( n \geq 1 \)
\>
• \[ 1^n = 1 \]

Ces règles permettent de simplifier et de manipuler des puissances facilement.