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Les puissances : Règles des puissances pour les 5ème

5emeMathematiquesLes puissancesRègles des puissances~4 min de lecture

Le cours en vidéo

Les puissances — Règles des puissances

Une puissance, c'est une multiplication répétée : apprendre ses règles permet de simplifier et calculer vite.

Objectifs

  • Comprendre ce que signifie \(a^n\) et lire une puissance.
  • Apprendre et utiliser les règles : produit, quotient, puissance d'une puissance, puissance d'un produit, exposant zéro.
  • Savoir éviter les erreurs fréquentes et calculer des expressions avec des puissances.

Notions clés et règles

Définition

Si on a un nombre \(a\) et un entier naturel \(n\) (\(n\ge 1\)), la puissance \(a^n\) est le produit de \(n\) facteurs \(a\) :

\[a^n = \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_{n\ \text{fois}}\]

Exemple : \[3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81.\]

Règle 1 — Produit de puissances de même base

Pour tout réel \(a\) et entiers naturels \(m,n\) :

\[a^m \times a^n = a^{m+n}.\]

Règle 2 — Quotient de puissances de même base

Pour \(a\neq 0\) et entiers naturels \(m,n\) :

\[\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}.\]

Règle 3 — Puissance d'une puissance

Pour tout \(a\) et entiers naturels \(m,n\) :

\[(a^m)^n = a^{m\times n}.\]

Règle 4 — Puissance d'un produit

Pour tout \(a,b\) et entier naturel \(n\) :

\[(ab)^n = a^n b^n.\]

Règle 5 — Exposant zéro

Pour \(a\neq 0\) :

\[a^0 = 1.\]

Illustration (schéma)

Visualisons \(3^4\) comme quatre groupes de trois.

3 groupes de 4 ou 4 groupes de 3 — illustration de 3^4 Chaque ligne = 3 (facteurs) Il y a 4 lignes ⇒ 3 × 3 × 3 × 3 Donc 3^4 = 81

Quel est le résultat de \(2^3 \times 2^4\) ?

  1. \(2^{7}\)
  2. \(2^{3+4}\)
  3. Les deux réponses sont équivalentes
On applique \(a^m \times a^n = a^{m+n}\), donc \(2^3 \times 2^4 = 2^{7}\). Les réponses 1 et 2 disent la même chose, mais la meilleure réponse ici est 3 si on compare contenu : réponse 3 précise l'équivalence. (La correction attendue est le résultat \(2^7\).)

Exemples résolus

Exemple 1

Calculer \(5^3 \times 5^2\). Cherche d'abord.

Voir la solution
Étape 1 : appliquer \(a^m \times a^n = a^{m+n}\).
Étape 2 : \(5^3 \times 5^2 = 5^{3+2} = 5^5\).
Étape 3 : Si on veut le calculer : \(5^5 = 3125\).

Exemple 2

Simplifier \(\dfrac{7^6}{7^2}\). Cherche d'abord.

Étape 1 : utiliser \(\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\).
Étape 2 : \(\dfrac{7^6}{7^2} = 7^{6-2} = 7^4\).
Étape 3 : \(7^4 = 2401\) si on calcule.

Que vaut \((2^3)^2\) ?

  1. \(2^{6}\)
  2. \(4^3\)
  3. \(2^{5}\)
On applique \((a^m)^n = a^{mn}\) donc \((2^3)^2 = 2^{3\times 2} = 2^6\).

Erreurs fréquentes

Exemple d'erreur : penser que \((2+3)^2 = 2^2 + 3^2\). En réalité :

\[(2+3)^2 = 5^2 = 25 \quad\text{et}\quad 2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13.\]

Parmi ces égalités, laquelle est fausse ?

  1. \((ab)^2 = a^2 b^2\)
  2. \((a+b)^2 = a^2 + b^2\)
  3. \((a^m)^n = a^{mn}\)
La fausse égalité est la 2 : \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\), on oublie le terme double produit.

Récapitulatif

  • Définition : \(a^n\) = produit de \(n\) facteurs \(a\).
  • Produit : \(a^m \times a^n = a^{m+n}\).
  • Quotient : \(\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\) (si \(a\neq 0\)).
  • Puissance d'une puissance : \((a^m)^n = a^{mn}\).
  • Produit à la puissance : \((ab)^n = a^n b^n\).
  • Exposant zéro : \(a^0 = 1\) pour \(a\neq 0\).

Cartes mémo

Définition de \(a^n\)
Produit de \(n\) facteurs égaux à \(a\).
Produit même base
\(a^m \times a^n = a^{m+n}\).
Quotient même base
\(\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\) si \(a\neq0\).
Puissance d'une puissance
\((a^m)^n = a^{mn}\).
Piège
\((a+b)^n \neq a^n + b^n\) en général.

Bon entraînement : cherche à simplifier des expressions en appliquant une règle à la fois. Pour aller plus loin, découvre les exposants négatifs et les puissances de 10.

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