Les puissances : Règles des puissances

Les puissances sont comme des outils pour simplifier les nombres très grands ou très petits, un peu comme une loupe ou un crayon pour écrire plus gros ou plus petit. Apprenons les règles pour manipuler ces puissances facilement.

1. Rappel sur la puissance

Une puissance s'écrit de la forme \( a^n \), où :

• a est la base (un nombre)
• n est l'exposant (un nombre qui indique combien de fois on multiplie la base par elle-même)

Exemple : \( 2^3 = 2 imes 2 imes 2 = 8 \).

2. Règles des puissances

a) Produit de puissances de même base

Lorsqu'on multiplie deux puissances ayant la même base, on conserve la base et on additionne les exposants :

\( a^m 	imes a^n = a^{m + n} \)

Exemple : \( 3^2 imes 3^4 = 3^{2+4} = 3^6 \).

b) Quo-tient de puissances de même base

Pour diviser deux puissances avec la même base, on conserve la base et on soustrait les exposants :

\( a^m \div a^n = a^{m - n} \)

Exemple : \( 5^7 \div 5^3 = 5^{7-3} = 5^4 \).

c) Puissance d'une puissance

Pour une puissance élevée à une autre puissance, on multiplie les exposants :

\( (a^m)^n = a^{m 	imes n} \)

Exemple : \( (2^3)^4 = 2^{3 imes 4} = 2^{12} \).

d) Produit de puissances de bases différentes, même exposant

On multiplie les bases et on garde l'exposant :

\( a^n 	imes b^n = (a 	imes b)^n \)

Exemple : \( 2^3 imes 5^3 = (2 imes 5)^3 = 10^3 \).

e) Puissance d'un produit

Chaque facteur doit être élevé à l'exposant :

\( (a 	imes b)^n = a^n 	imes b^n \)

Exemple : \( (3 imes 4)^2 = 3^2 imes 4^2 = 9 imes 16 = 144 \).

f) Puissance avec zéro

Tout nombre élevé à la puissance zéro est égal à 1, sauf 0 :

\( a^0 = 1 \) (pour \( a 
eq 0 \))

Exemple : \( 7^0 = 1 \).

3. Résumé

Les règles principales pour manipuler les puissances sont donc :

• Multiplier ou diviser les puissances avec la même base en additionnant ou soustrayant les exposants.
• Élever une puissance à une autre en multipliant les exposants.
• Garder en tête que tout nombre (sauf 0) élevé à 0 égal 1.

Ces règles te permettent de simplifier beaucoup d'expressions en mathématiques. N'hésite pas à t'entraîner avec des exemples pour bien les mémoriser.