Les représentations graphiques en statistique

Un bon graphique transforme un tableau de nombres en une image que l'on comprend d'un coup d'œil : barres ou bâtons pour compter, secteurs pour partager un tout, histogramme pour des classes de valeurs.

Objectifs

Reconnaître le type de caractère étudié (qualitatif, quantitatif discret, quantitatif continu) pour choisir le bon graphique.
Construire et lire un diagramme en barres, un diagramme en bâtons et un diagramme circulaire.
Construire et lire un histogramme, y compris avec des classes d'amplitudes différentes.
Tracer le polygone des effectifs cumulés croissants et y lire une médiane.

1. Rappels : population, caractère, effectif, fréquence

On étudie une population (les élèves d'une classe, les familles d'un quartier…) selon un caractère (moyen de transport, nombre d'enfants, taille…).

Caractère qualitatif : ses modalités ne sont pas des nombres (couleur, moyen de transport, ville).
Caractère quantitatif discret : il prend des valeurs isolées (nombre d'enfants : 0, 1, 2…).
Caractère quantitatif continu : il peut prendre toutes les valeurs d'un intervalle ; on regroupe les valeurs en classes comme \([160\,;165[\).

Si \(n_i\) est l'effectif d'une modalité et \(N\) l'effectif total, la fréquence de cette modalité est

\[ f_i = \frac{n_i}{N}, \qquad 0 \le f_i \le 1, \qquad f_1 + f_2 + \dots + f_p = 1. \]

flowchart TD
A[Quel caractère] --> B[Qualitatif]
A --> C[Quantitatif discret]
A --> D[Quantitatif continu]
B --> E[Barres ou diagramme circulaire]
C --> F[Bâtons ou diagramme circulaire]
D --> G[Histogramme et polygone des ECC]

On relève la masse (en kg) de 60 élèves d'un lycée de Bamako. De quel type est ce caractère ?

Qualitatif
Quantitatif discret
Quantitatif continu

Une masse peut prendre toutes les valeurs d'un intervalle (54,3 kg, 54,35 kg…) : c'est un caractère quantitatif continu, que l'on regroupe en classes.

2. Le diagramme en barres (caractère qualitatif)

Moyen	À pied	Bus	Moto-taxi	Taxi	Vélo	Total
Effectif	14	10	6	8	2	40

Dans un diagramme en barres, chaque modalité reçoit une barre ; toutes les barres ont la même largeur et sont séparées. La hauteur de chaque barre est proportionnelle à l'effectif (ou à la fréquence). L'ordre des modalités sur l'axe n'a pas d'importance.

3. Le diagramme circulaire (partager un tout)

Dans un diagramme circulaire (ou semi-circulaire), chaque modalité est représentée par un secteur dont l'angle est proportionnel à l'effectif. Le disque entier, \(360^\circ\), représente l'effectif total :

\[ \alpha_i = f_i \times 360^\circ = \frac{n_i}{N} \times 360^\circ. \]

Pour un diagramme semi-circulaire, on remplace \(360^\circ\) par \(180^\circ\).

Exemple résolu 1 : les angles du trajet du matin

Calcule l'angle de chaque secteur pour les 40 élèves. Cherche d'abord, puis dévoile les étapes.

Un élève correspond à \(\dfrac{360^\circ}{40} = 9^\circ\).

À pied : \(14 \times 9^\circ = 126^\circ\) ; bus : \(10 \times 9^\circ = 90^\circ\).

Moto-taxi : \(6 \times 9^\circ = 54^\circ\) ; taxi : \(8 \times 9^\circ = 72^\circ\) ; vélo : \(2 \times 9^\circ = 18^\circ\).

Vérification : \(126 + 90 + 54 + 72 + 18 = 360\). Le disque est complet.

Exemple résolu 2 : lire un diagramme circulaire

Dans une enquête auprès de 120 clients d'une boutique de Ouagadougou, le secteur « paiement par mobile money » mesure \(150^\circ\). Combien de clients paient par mobile money ?

Voir la solution

La fréquence est \(f = \dfrac{150}{360} = \dfrac{5}{12}\). L'effectif vaut donc \(n = \dfrac{5}{12} \times 120 = 50\) clients.

Dans un diagramme circulaire, une modalité a une fréquence de 25 %. Quel est l'angle de son secteur ?

25°
90°
100°
180°

\(\alpha = 0{,}25 \times 360^\circ = 90^\circ\) : un quart du disque.

4. Le diagramme en bâtons (caractère quantitatif discret)

Nombre d'enfants \(x_i\)	0	1	2	3	4	5	Total
Effectif \(n_i\)	2	4	7	6	4	2	25

Dans un diagramme en bâtons, l'axe horizontal est gradué avec les valeurs du caractère (en respectant l'échelle). Au-dessus de chaque valeur \(x_i\), on trace un trait vertical (un bâton) de hauteur proportionnelle à \(n_i\).

D'après le diagramme, quelle est la fréquence des familles qui ont exactement 3 enfants ?

0,24
0,3
0,06
0,6

\(f = \dfrac{6}{25} = 0{,}24\), soit 24 % des familles.

5. L'histogramme (caractère quantitatif continu)

Taille (cm)	\([150\,;155[\)	\([155\,;160[\)	\([160\,;165[\)	\([165\,;170[\)	\([170\,;180[\)	Total
Effectif	6	12	16	10	6	50

Un histogramme est formé de rectangles accolés : chaque rectangle a pour base la classe sur l'axe horizontal et son aire est proportionnelle à l'effectif de la classe.

Si toutes les classes ont la même amplitude, la hauteur est simplement proportionnelle à l'effectif.
Si les amplitudes sont différentes, on prend pour hauteur la densité de la classe :

\[ d_i = \frac{n_i}{a_i} \quad \text{où } a_i \text{ est l'amplitude de la classe.} \]

Exemple résolu 3 : les hauteurs de l'histogramme

Amplitudes : 5 cm pour les quatre premières classes, \(180 - 170 = 10\) cm pour la dernière.

Densités : \(\dfrac{6}{5} = 1{,}2\) ; \(\dfrac{12}{5} = 2{,}4\) ; \(\dfrac{16}{5} = 3{,}2\) ; \(\dfrac{10}{5} = 2\) ; \(\dfrac{6}{10} = 0{,}6\) (élèves par cm).

On trace des rectangles accolés de ces hauteurs. Contrôle avec les aires : \(0{,}6 \times 10 = 6\) élèves pour la dernière classe, comme dans le tableau.

La classe modale est celle de plus grande densité : \([160\,;165[\).

Une classe \([20\,;40[\) contient 10 individus et une classe \([40\,;50[\) en contient aussi 10. Dans l'histogramme, quel rectangle est le plus haut ?

Celui de \([20\,;40[\)
Celui de \([40\,;50[\)
Ils ont la même hauteur

Densités : \(\dfrac{10}{20} = 0{,}5\) et \(\dfrac{10}{10} = 1\). Même aire, mais la classe la plus étroite est deux fois plus haute.

6. Le polygone des effectifs cumulés croissants

L'effectif cumulé croissant (ECC) d'une classe \([a\,;b[\) est le nombre d'individus dont la valeur est strictement inférieure à \(b\).

Taille inférieure à	150	155	160	165	170	180
ECC	0	6	18	34	44	50

Le polygone des ECC relie les points (borne supérieure de la classe ; ECC), en partant de (150 ; 0). Il permet de lire une valeur approchée de la médiane : l'abscisse du point d'ordonnée \(\dfrac{N}{2}\).

On place les points (borne supérieure ; ECC) : (150 ; 0), (155 ; 6), (160 ; 18), (165 ; 34), (170 ; 44), (180 ; 50).

On relie les points par des segments : c'est le polygone des ECC, il monte toujours.

On part de l'ordonnée 25 (la moitié de 50), on rejoint la courbe puis on descend : la médiane vaut environ 162,2 cm.

Exemple résolu 4 : calculer la médiane par interpolation

Cherche d'abord : la valeur 25 est entre les ECC 18 (à 160 cm) et 34 (à 165 cm).

Voir la solution

Sur le segment, la proportionnalité donne

\[ \frac{Me - 160}{165 - 160} = \frac{25 - 18}{34 - 18} \quad\Longrightarrow\quad Me = 160 + 5 \times \frac{7}{16} \approx 162{,}2 \text{ cm}. \]

La moitié des 50 élèves mesure moins de 162,2 cm environ.

D'après le tableau des ECC, combien d'élèves mesurent au moins 165 cm ?

34 élèves mesurent moins de 165 cm, donc \(50 - 34 = 16\) élèves mesurent au moins 165 cm.

Erreurs fréquentes

Coller les barres d'un diagramme en barres ou séparer les rectangles d'un histogramme : c'est l'inverse.
Oublier que le total des angles d'un diagramme circulaire doit faire \(360^\circ\) (ou \(180^\circ\) pour un demi-disque).
Utiliser l'effectif comme hauteur avec des classes d'amplitudes différentes.
Faire partir le polygone des ECC du premier effectif au lieu du point (borne inférieure ; 0).

Récapitulatif

Caractère	Graphique	Ce qui est proportionnel à l'effectif
Qualitatif	Diagramme en barres	La hauteur des barres
Quantitatif discret	Diagramme en bâtons	La hauteur des bâtons
Tout caractère	Diagramme circulaire	L'angle du secteur
Quantitatif continu	Histogramme	L'aire des rectangles
Quantitatif continu	Polygone des ECC	Sert à lire la médiane

Fréquence

\(f_i = \dfrac{n_i}{N}\), comprise entre 0 et 1 ; la somme des fréquences vaut 1.

Angle d'un secteur

\(\alpha_i = \dfrac{n_i}{N} \times 360^\circ\)

Diagramme en bâtons

Caractère discret : un trait vertical par valeur, hauteur proportionnelle à l'effectif.

Histogramme

Rectangles accolés, aire proportionnelle à l'effectif ; hauteur \(d_i = \dfrac{n_i}{a_i}\) si les amplitudes diffèrent.

Polygone des ECC

Relie (borne supérieure ; ECC) ; la médiane est l'abscisse du point d'ordonnée \(\dfrac{N}{2}\).