Les suites arithmétiques

Introduction

Une suite arithmétique est une suite de nombres dans laquelle chaque terme est obtenu en ajoutant un nombre fixe, appelé la raison, au terme précédent.

Définition

Une suite \(\left( u_n ight)_{n\in \mathbb{N}}\) est appelée suite arithmétique si :

• Il existe un nombre \( r \) appelé raison, tel que :

\[ orall n \in \mathbb{N}, \quad u_{n+1} = u_n + r \]

Exemple

La suite suivante est arithmétique : \(\left( 3, 7, 11, 15, 19, \dots ight)\).

Dans cet exemple, la raison est \( r = 4 \).

Formule explicite

Si l'on connaît le premier terme \( u_0 \) (ou \( u_1 \)) et la raison \( r \), on peut exprimer le terme d'indice \( n \) par :

\[ u_n = u_0 + n imes r \]

où :

• \( u_0 \) est le premier terme de la suite,
• \( r \) est la raison,
• \( n \) est un entier naturel ( \( n \geq 0 \) ).

Calcul de termes

Pour calculer un terme \( u_n \), il suffit de connaître :

• le premier terme \( u_0 \),
• la raison \( r \),
• l'indice \( n \).

Ensuite, appliquer la formule : \( u_n = u_0 + n imes r \).

Exemple d'application

Soit la suite \( (u_n) \) telle que \( u_0=2 \) et \( r=3 \).

Calculons \( u_4 \) :

\[ u_4 = 2 + 4 imes 3 = 2 + 12 = 14 \]

Résumé

• Une suite arithmétique : chaque terme s'obtient en ajoutant la même valeur au terme précédent.
• Formule du terme général : \( u_n = u_0 + n imes r \).
• Pour trouver un terme, il suffit de connaître le premier terme, la raison et l'indice.