Les Suites Géométriques

1. Qu'est-ce qu'une suite géométrique ?

Une suite géométrique est une succession de nombres où chaque terme est obtenu en multipliant le terme précédent par un même nombre appelé raison. > Exemple : si la raison est \( q \), et que le premier terme est \( u_1 \), alors les autres termes sont :

• \(\ u_2 = u_1 \times q \)
• \(\ u_3 = u_2 \times q = u_1 \times q^2 \)
• \(\ u_4 = u_3 \times q = u_1 \times q^3 \)

On voit que chaque terme est le précédent multiplié par \( q \).

2. La formule du terme général

Le terme général \( u_n \) d'une suite géométrique est donné par : \[\ u_n = u_1 \times q^{n-1} \] où :

• \( u_1 \) est le premier terme
• \( q \) est la raison (c'est ce qui fait qu'on multiplie chaque terme par le même nombre)
• \( n \) est la position du terme dans la suite (ex : 1er, 2ème, etc.)

3. Exemple concret

Supposons que la suite commence par \( u_1 = 3 \) et que la raison est \( q = 2 \). > Les premiers termes sont :

• \( u_1 = 3 \)
• \( u_2 = 3 \times 2 = 6 \)
• \( u_3 = 6 \times 2 = 12 \)
• \( u_4 = 12 \times 2 = 24 \)

Le terme général est :

\[u_n = 3 \times 2^{n-1}\]

4. Résumé

- La suite est déterminée par : \( u_1 \) et \( q \).

- Pour trouver n'importe quel terme, on utilise la formule : \( u_n = u_1 \times q^{n-1} \).

- La suite géométrique peut croître ou décroître :

• Si \( |q| > 1 \), la suite croît rapidement.
• Si \( |q| < 1 \), la suite décroît vers 0.

5. Analogies

Pense à la suite géométrique comme à une multiplication dans une recette : si chaque étape double la quantité, ou la réduit de moitié, tu peux prévoir la quantité à chaque étape en utilisant la formule.