Les Suites Récurrentes : Introduction et Notions Clés – Mathematiques

Les suites récurrentes permettent de définir une suite à partir d'une relation de récurrence et de valeurs initiales.

Objectifs

Comprendre la définition d'une suite récurrente.
Savoir calculer quelques termes d'une suite récurrente simple.
Familiariser avec la résolution de relations de récurrence.

Notions clés

Définition d'une suite récurrente

Une suite \(\left( u_n \right)_{n \geq 0}\) est dite récurrente si chaque terme \(\( u_{n+1} \)\) peut être exprimé à partir des termes précédents, par une relation du type :

\( u_{n+1} = f(u_n, u_{n-1}, ..., u_{n-k}) \) pour un certain entier \(k\).

Il faut aussi donner des valeurs initiales, souvent \( u_0 \) et éventuellement quelques autres.

Exemple simple : suite linéaire

Considérons la relation de récurrence :

\( u_{n+1} = 2 u_n + 1 \), avec \( u_0=1 \).

Cette suite est définie à partir de la valeur initiale \( u_0=1 \) et de la relation qui permet de calculer chaque terme suivant.

Exemple résolu : suite géométrique récurrente

Voir la solution

On identifie la relation : \( u_{n+1} = q u_n \), ici \( q= r \) une constante.

On calcule quelques termes : si \( u_0= u_0 \), alors \( u_1 = q u_0 \), \( u_2= q u_1 = q^2 u_0 \), etc.

Généralisation : \( u_n = u_0 \times q^n \).

Erreurs fréquentes

Confondre relation de récurrence et formule explicite.
Oublier de préciser les valeurs initiales nécessaires à la définition.
Ne pas vérifier le sens de la relation dans le cas d'une suite décroissante ou négative.

Récapitulatif

Suite récurrente

Une suite définie à partir d'une relation entre ses termes successifs, avec valeurs initiales.

Relation de récurrence

Une formule qui donne \( u_{n+1} \) en fonction de \( u_{n}, u_{n-1}, \dots \)

Valeurs initiales

Les premiers termes indispensables pour définir la suite.

Schéma illustratif : processus de définition

flowchart LR
    A[Valeurs initiales]
    B[Relation de récurrence]
    C[Calcul des termes suivants]
    A --> B
    B --> C

Mini quiz

Quelle est la principale caractéristique d'une suite récurrente ?

Elle est toujours géométrique.
Chaque terme dépend des précédents par une relation.
Elle ne commence jamais par un terme initial.

C'est la définition même d'une suite récurrente : chaque terme est calculé à partir des termes précédents.