Les transformations affines dans le plan

Une transformation affine est une opération qui combine une rotation, une translation, une homothétie ou une symétrie.

Objectifs

Comprendre ce qu’est une transformation affine dans le plan.
Savoir représenter une transformation affine par une matrice.
Identifier les différents types de transformations affines.

Notions clés

Transformation affine : Mécanisme qui transforme un point en un autre en utilisant une matrice et un vecteur de translation.
Matrice de transformation : Matrice 2×2 qui détermine la partie linéaire de la transformation.
Véritable affine : Transformation qui conserve les combinaisons affines, comme les parallèles.
Types de transformations affines : rotation, translation, homothétie, symétrie.

Exemple résolu : Transformation d’un point

On souhaite transformer le point \( A(2, 3) \) par une rotation de centre \( O(0, 0) \) d’angle \( 90^\circ \) dans le sens antihoraire.

La matrice de rotation d’angle \( \theta = 90^\circ \) est :

\begin{align}
 R &= \begin{bmatrix}\cos \theta & -\sin \ \theta \\ \sin \theta & \cos \theta\end{bmatrix} \\
 &= \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}
\end{align}

Le point \( A(2, 3) \) s’écrit en vecteur :

\vec{A} = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}

La transformation est donc :

\vec{A'} = R \times \vec{A} = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3 \\ 2 \end{bmatrix}

Le point transformé est donc \( A'(-3, 2) \).

Voir la solution étape par étape

Calculer la matrice de rotation : \(\begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\).

Multiplier la matrice par le vecteur du point : \(\begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}\).

Effectuer le produit : \(\begin{bmatrix} (0*2 + -1*3) \\ (1*2 + 0*3) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3 \\ 2 \end{bmatrix}\).

Ce procédé se généralise pour toute transformation affine : on utilise une matrice 2×2 suivie d’un vecteur de translation.

Les différents types de transformations affines

Translation : Déplacement d’un point selon un vecteur \(\vec{v}\).
Rotation : Tourner un point autour d’un centre par un angle \(\theta\).
Homothétie : Agrandir ou réduire un point par un facteur \(k\), en conservant le centre.
Symétrie : Refléter un point par rapport à une droite.

Erreurs fréquentes

Confondre matrice de rotation et matrice identité.
Oublier d’appliquer le vecteur de traduction après la transformation linéaire.
Confondre transformation affine et transformation biaxiale ou non affine.

Récapitulatif

Les transformations affines combinent des opérations linéaires (reprisées par une matrice) et des translations (dépôt de vecteur). Elles permettent de créer des images géométriques proches de la réalité, tout en conservant certains propriétés comme les parallèles.

Mini quiz

Quelle opération n’est pas une transformation affine ?

Translation
Rotation
Perspective

La perspective n’est pas une transformation affine car elle ne conserve pas les parallèles.