Les vecteurs : Opérations sur les vecteurs

Introduction

Un vecteur est une quantité mathématique qui possède une direction, un sens et une grandeur (longueur). En géométrie, il est souvent représenté par une flèche.

Les opérations sur les vecteurs

1. L'addition de deux vecteurs

Pour additionner deux vecteurs \(ec{u}\) et \(ec{v}\), on utilise la règle du paralélogramme :

• On place le vecteur \(ec{u}\)
• On place le vecteur \(ec{v}\) à partir de l'extrémité de \(ec{u}\)
• Le vecteur somme \(ec{u} + ec{v}\) est le vecteur qui va de l'origine du premier vecteur à l'extrémité du second

En coordonnées, si \(ec{u} = (u_x, u_y)\) et \(ec{v} = (v_x, v_y)\), alors :

\[ ec{u} + ec{v} = (u_x + v_x, u_y + v_y) \]

2. La différence de deux vecteurs

La différence \(ec{u} - ec{v}\) se calcule en additionnant \(ec{u}\) avec \(- ec{v}\).

En coordonnées :

\[ ec{u} - ec{v} = (u_x - v_x, u_y - v_y) \]

3. La multiplication d'un vecteur par un scalaire

Multipliant un vecteur \(ec{u}\) par un scalaire \(k\), on modifie sa longueur par un facteur \(k\) :

En coordonnées :

\[ k 	imes ec{u} = (k 	imes u_x, k 	imes u_y) \]

Conclusion

Les opérations sur les vecteurs permettent de faire des combinaisons géométriques et algébriques essentielles en physique et en géométrie. La maîtrise de ces opérations facilite l'étude des mouvements, des forces et des figures géométriques.