Proportionnalité : lien avec les fonctions linéaires et les graphiques

Une situation de proportionnalité, c'est une fonction linéaire \(x \mapsto ax\) : son coefficient \(a\) est le coefficient de proportionnalité, et son graphique est une droite qui passe par l'origine.

Objectifs

Reconnaître qu'une situation de proportionnalité se modélise par une fonction linéaire.
Calculer une image, un antécédent et le coefficient \(a\) d'une fonction linéaire.
Représenter graphiquement une fonction linéaire et lire un graphique.
Reconnaître graphiquement une situation de proportionnalité.
Traduire un pourcentage d'augmentation ou de réduction par une fonction linéaire.

1. De la proportionnalité à la fonction linéaire

Nombre de baguettes \(x\)	1	2	3	6
Prix \(p(x)\) en F CFA	250	500	750	1 500

Le prix est proportionnel au nombre de baguettes, de coefficient 250. On peut l'écrire comme une fonction :

\[ p : x \mapsto 250x \qquad\text{ou}\qquad p(x) = 250x \]

Image et antécédent

L'image de \(x\) est \(f(x) = ax\) : on multiplie par \(a\).
Un antécédent de \(y\) est le nombre \(x\) tel que \(ax = y\), c'est-à-dire \(x = \dfrac{y}{a}\) (si \(a \neq 0\)) : on divise par \(a\).
Si l'on connaît une image \(f(x_0) = y_0\) avec \(x_0 \neq 0\), alors \(a = \dfrac{y_0}{x_0}\).

Exemple résolu 1

\(f\) est une fonction linéaire telle que \(f(4) = -10\). Cherche d'abord : trouve \(a\), puis l'image de \(6\) et l'antécédent de \(15\).

Étape 1 : coefficient. \[ a = \frac{f(4)}{4} = \frac{-10}{4} = -2{,}5 \] donc \(f(x) = -2{,}5x\).

Étape 2 : image de 6. \[ f(6) = -2{,}5 \times 6 = -15 \]

Étape 3 : antécédent de 15. On résout \(-2{,}5x = 15\) : \[ x = \frac{15}{-2{,}5} = -6 \] Vérification : \(f(-6) = -2{,}5 \times (-6) = 15\).

\(g\) est la fonction linéaire de coefficient \(3\). Quel est l'antécédent de \(21\) ?

\(63\)
\(7\)
\(18\)

On cherche \(x\) tel que \(3x = 21\), donc \(x = \dfrac{21}{3} = 7\). \(63\) est l'image de \(21\), pas son antécédent.

2. Le graphique d'une fonction linéaire

Bouge le curseur \(a\) : la droite tourne autour de l'origine. Si \(a > 0\), elle monte ; si \(a < 0\), elle descend ; si \(a = 0\), elle est confondue avec l'axe des abscisses.

Tracer la droite de \(f(x) = 1{,}5x\)

Étape 1 : la droite d'une fonction linéaire passe toujours par l'origine O(0 ; 0), car \(f(0) = 1{,}5 \times 0 = 0\).

Étape 2 : on calcule un second point. \(f(4) = 1{,}5 \times 4 = 6\), d'où le point A(4 ; 6). On choisit \(x = 4\) pour obtenir un résultat entier.

Étape 3 : on trace la droite (OA). Deux points suffisent pour tracer une droite.

Reconnaître la proportionnalité sur un graphique

Points alignés sur une droite passant par l'origine : situation de proportionnalité.
Droite qui ne passe pas par l'origine : pas proportionnel (c'est une fonction affine, \(f(x) = ax + b\) avec \(b \neq 0\)).
Points non alignés (courbe) : pas proportionnel.

Compare les deux droites : la première \(y = ax\) représente un prix proportionnel ; la seconde \(y = ax + b\) ajoute un montant fixe \(b\). Mets \(b\) à \(0\) : les deux droites se superposent.

Exemple résolu 2 : lire un graphique

Une droite passe par l'origine et par le point B(5 ; 2). Cherche d'abord : quelle fonction représente-t-elle, et quelle est l'image de \(12{,}5\) ?

Voir la solution

La droite passe par l'origine : c'est une fonction linéaire \(f(x) = ax\). Le point B donne \(f(5) = 2\), donc

\[ a = \frac{2}{5} = 0{,}4 \qquad f(x) = 0{,}4x \] \[ f(12{,}5) = 0{,}4 \times 12{,}5 = 5 \]

Laquelle de ces fonctions est représentée par une droite passant par l'origine ?

\(f(x) = -3x\)
\(g(x) = 2x + 1\)
\(h(x) = x^2\)

\(f\) est linéaire : \(f(0) = 0\) et sa courbe est une droite. \(g(0) = 1\), sa droite ne passe pas par l'origine ; \(h\) n'est pas représentée par une droite.

3. Pourcentages et fonctions linéaires

Prendre \(t\,\%\) d'une quantité : \(x \mapsto \dfrac{t}{100}x\).
Augmenter de \(t\,\%\) : \(x \mapsto \left(1 + \dfrac{t}{100}\right)x\).
Diminuer de \(t\,\%\) : \(x \mapsto \left(1 - \dfrac{t}{100}\right)x\).

Exemple résolu 3

Un pagne coûte 6 000 F CFA et un sac 8 500 F CFA. Ils sont soldés à \(-20\,\%\). Cherche d'abord : quelle fonction donne le prix soldé, et quels sont les nouveaux prix ?

Étape 1 : la fonction. \[ s(x) = \left(1 - \frac{20}{100}\right)x = 0{,}8x \]

Étape 2 : le pagne. \[ s(6\,000) = 0{,}8 \times 6\,000 = 4\,800 \text{ F CFA} \]

Étape 3 : le sac. \[ s(8\,500) = 0{,}8 \times 8\,500 = 6\,800 \text{ F CFA} \]

Étape 4 : dans l'autre sens. Un article soldé coûte 3 200 F CFA ; son prix initial est l'antécédent de 3 200 : \[ x = \frac{3\,200}{0{,}8} = 4\,000 \text{ F CFA} \]

Quelle fonction linéaire traduit une augmentation de \(15\,\%\) ?

\(x \mapsto 0{,}15x\)
\(x \mapsto 0{,}85x\)
\(x \mapsto 1{,}15x\)

Augmenter de \(15\,\%\), c'est garder \(100\,\%\) et ajouter \(15\,\%\) : on multiplie par \(1 + 0{,}15 = 1{,}15\).

Un tableau donne : \(x = 2 \to y = 7\) ; \(x = 4 \to y = 14\) ; \(x = 6 \to y = 20\). Est-ce une situation de proportionnalité ?

Oui, de coefficient \(3{,}5\)
Non, car \(\dfrac{20}{6} \neq 3{,}5\)
Oui, car les valeurs augmentent

\(\dfrac{7}{2} = \dfrac{14}{4} = 3{,}5\) mais \(\dfrac{20}{6} \approx 3{,}33\) : les quotients ne sont pas tous égaux, les points ne sont pas alignés avec l'origine.

Récapitulatif

Fonction linéaire

\(f(x) = ax\), modèle de toute situation de proportionnalité.

Graphique d'une fonction linéaire

Une droite qui passe par l'origine \(O(0\,;\,0)\).

Trouver le coefficient \(a\)

\(a = \dfrac{f(x_0)}{x_0}\) avec \(x_0 \neq 0\).

Antécédent de \(y\)

\(x = \dfrac{y}{a}\) si \(a \neq 0\).

Diminuer de \(t\,\%\)

Multiplier par \(1 - \dfrac{t}{100}\).