Lien avec l’angle entre deux vecteurs
Produit scalaire : lien avec l'angle entre deux vecteurs
Le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre qui mesure à quel point ils « vont dans le même sens » : il vaut \(\|\vec u\| \times \|\vec v\| \times \cos\theta\), où \(\theta\) est l'angle entre eux.
Objectifs
- Connaître la définition \(\vec u \cdot \vec v = \|\vec u\| \, \|\vec v\| \cos\theta\).
- Prévoir le signe du produit scalaire selon que l'angle est aigu, droit ou obtus.
- Utiliser la projection orthogonale pour calculer un produit scalaire.
- Calculer un produit scalaire avec les coordonnées, puis en déduire un angle.
- Reconnaître deux vecteurs orthogonaux : \(\vec u \cdot \vec v = 0\).
1. La définition avec l'angle
Notions clés
Soient \(\vec u\) et \(\vec v\) deux vecteurs non nuls, et \(\theta\) l'angle entre eux (entre \(0^\circ\) et \(180^\circ\)). Le produit scalaire de \(\vec u\) et \(\vec v\) est le nombre réel :
\[ \vec u \cdot \vec v = \|\vec u\| \times \|\vec v\| \times \cos\theta. \]Si l'un des deux vecteurs est nul, on pose \(\vec u \cdot \vec v = 0\).
Rappel des valeurs utiles :
\[ \cos 0^\circ = 1, \quad \cos 30^\circ = \frac{\sqrt 3}{2}, \quad \cos 45^\circ = \frac{\sqrt 2}{2}, \quad \cos 60^\circ = \frac12, \quad \cos 90^\circ = 0, \quad \cos 120^\circ = -\frac12, \quad \cos 180^\circ = -1. \]Exemple résolu
On donne \(\|\vec u\| = 4\), \(\|\vec v\| = 5\). Calculer \(\vec u \cdot \vec v\) si l'angle vaut \(60^\circ\), puis \(120^\circ\).
2. Le signe du produit scalaire
Les normes étant positives, le signe de \(\vec u \cdot \vec v\) est celui de \(\cos\theta\) :
- angle aigu (\(0^\circ \leq \theta < 90^\circ\)) : \(\vec u \cdot \vec v > 0\) ;
- angle droit (\(\theta = 90^\circ\)) : \(\vec u \cdot \vec v = 0\) ;
- angle obtus (\(90^\circ < \theta \leq 180^\circ\)) : \(\vec u \cdot \vec v < 0\).
Joue avec les curseurs : \(a\) et \(b\) sont les normes des vecteurs, l'abscisse est l'angle \(\theta\) en degrés, l'ordonnée est le produit scalaire. Observe où la courbe coupe l'axe.
L'angle entre \(\vec u\) et \(\vec v\) mesure \(150^\circ\). Que peut-on dire de \(\vec u \cdot \vec v\) ?
3. Avec la projection orthogonale
On abaisse la perpendiculaire depuis C sur la droite (AB) : son pied H est le projeté orthogonal de C.
Dans le triangle AHC rectangle en H, on a AH = AC × cos θ : AH est « l'ombre » de AC sur (AB).
Donc AB × AC × cos θ = AB × AH : le produit scalaire se calcule avec la projection.
À toi de jouer
\(ABCD\) est un carré de côté \(6\) cm. Calcule \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}\).
Voir la solution
Le projeté orthogonal de \(C\) sur \((AB)\) est \(B\) lui-même (car \((BC) \perp (AB)\)). Donc \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AB \times AB = 6 \times 6 = 36. \] Vérification avec l'angle : \(AC = 6\sqrt 2\) et l'angle vaut \(45^\circ\), donc \(6 \times 6\sqrt 2 \times \frac{\sqrt 2}{2} = 36\).
4. Avec les coordonnées : calculer un angle
Notions clés
Dans un repère orthonormé, si \(\vec u \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\) et \(\vec v \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}\), alors :
\[ \vec u \cdot \vec v = x x' + y y', \qquad \|\vec u\| = \sqrt{x^2 + y^2}. \]En égalant les deux expressions du produit scalaire, on obtient le cosinus de l'angle :
\[ \cos\theta = \frac{\vec u \cdot \vec v}{\|\vec u\| \times \|\vec v\|} = \frac{x x' + y y'}{\sqrt{x^2 + y^2} \times \sqrt{x'^2 + y'^2}}. \]Exemple résolu
Dans un repère orthonormé, \(\vec u \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}\) et \(\vec v \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}\). Déterminer l'angle \(\theta\) entre \(\vec u\) et \(\vec v\).
À toi de jouer
On donne \(A(1\,;2)\), \(B(4\,;3)\) et \(C(2\,;5)\) dans un repère orthonormé. Calcule une valeur approchée de l'angle \(\widehat{BAC}\).
Voir la solution
\(\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{AC} \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}\).
\[ \begin{aligned} \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} &= 3 \times 1 + 1 \times 3 = 6, \\ AB &= \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}, \qquad AC = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}, \\ \cos \widehat{BAC} &= \frac{6}{\sqrt{10} \times \sqrt{10}} = \frac{6}{10} = 0{,}6. \end{aligned} \]À la calculatrice (touche \(\cos^{-1}\), en mode degrés) : \(\widehat{BAC} \approx 53{,}1^\circ\).
Dans un repère orthonormé, \(\vec u \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}\) et \(\vec v \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \end{pmatrix}\). Que peut-on affirmer ?
Erreurs fréquentes
- Croire que le produit scalaire est un vecteur : c'est un nombre.
- Oublier le signe moins quand l'angle est obtus (ou quand le projeté est « derrière » A).
- Utiliser \(x x' + y y'\) dans un repère qui n'est pas orthonormé.
- Calculer l'angle avec la calculatrice en radians au lieu de degrés.
- Confondre « produit scalaire nul » (vecteurs orthogonaux) et « vecteurs colinéaires ».
Récapitulatif
- \(\vec u \cdot \vec v = \|\vec u\| \, \|\vec v\| \cos\theta\).
- Angle aigu : positif ; angle droit : nul ; angle obtus : négatif.
- Projection : \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \pm AB \times AH\).
- Repère orthonormé : \(\vec u \cdot \vec v = x x' + y y'\), puis \(\cos\theta = \dfrac{\vec u \cdot \vec v}{\|\vec u\| \, \|\vec v\|}\).
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