Lien entre somme des forces et variation de vitesse (formule approchée)

Les forces ne « portent » pas la vitesse : elles la font changer, et pendant une courte durée la variation du vecteur vitesse a la même direction et le même sens que la somme des forces, avec \(\sum \vec{F} \approx m\,\dfrac{\Delta \vec{v}}{\Delta t}\).

Objectifs

Rappeler le principe d’inertie et savoir l’utiliser dans les deux sens.
Construire le vecteur variation de vitesse \(\Delta\vec{v}\) à partir d’une chronophotographie.
Utiliser la relation approchée \(\sum \vec{F} \approx m\,\dfrac{\Delta \vec{v}}{\Delta t}\) pour trouver une force ou une variation de vitesse.
Comprendre le rôle de la masse : plus un système est lourd, plus il est difficile de changer sa vitesse.

1. Rappel : le principe d’inertie

Principe d’inertie : dans un référentiel galiléen (le sol, par exemple), si les forces qui s’exercent sur un système se compensent (\(\sum\vec{F} = \vec{0}\)), alors le système est immobile ou en mouvement rectiligne uniforme, et réciproquement.

Conséquence importante : si le vecteur vitesse change (en valeur OU en direction), alors les forces ne se compensent pas.

Un moto-taxi roule à vitesse constante dans un virage. Les forces qui s’exercent sur lui se compensent-elles ?

Oui, puisque la valeur de la vitesse est constante.
Non, car la direction du vecteur vitesse change.
On ne peut pas savoir.

Le vecteur vitesse change de direction dans le virage : le mouvement n’est pas rectiligne uniforme, donc la somme des forces n’est pas nulle.

2. Le vecteur variation de vitesse

Entre deux positions \(M_i\) et \(M_{i+1}\) séparées par une petite durée \(\Delta t\), la variation du vecteur vitesse est :

\[\Delta\vec{v} = \vec{v}_{i+1} - \vec{v}_i\]

Pour la construire, on reporte les deux vecteurs vitesse à partir d’un même point, puis on trace le vecteur qui va de l’extrémité de \(\vec{v}_i\) à l’extrémité de \(\vec{v}_{i+1}\).

On trace le vecteur vitesse à l’instant i depuis le point A : il est horizontal.

On trace, depuis le même point A, le vecteur vitesse à l’instant suivant : il penche vers le bas.

Le vecteur Δv relie l’extrémité du premier à l’extrémité du second : il est vertical, vers le bas.

Il a la même direction et le même sens que le poids, seule force notable sur le ballon : c’est la relation que l’on va énoncer.

3. La relation approchée

Pour un système de masse \(m\) constante, étudié dans un référentiel galiléen, pendant une durée \(\Delta t\) courte :

\[\sum \vec{F} \approx m\,\frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t}\]

\(\sum\vec{F}\) : somme des forces, en newtons (N) ;
\(m\) : masse du système, en kilogrammes (kg) ;
\(\Delta\vec{v}\) : variation du vecteur vitesse, en \(\text{m}\cdot\text{s}^{-1}\) ; \(\Delta t\) en secondes (s).

Sur une ligne droite, la valeur de la vitesse évolue comme une droite au cours du temps si la force est constante : \(v(t) = v_0 + \dfrac{F}{m}\,t\). Fais varier la force \(F\) (en N), la masse \(m\) (en kg) et la vitesse initiale \(v\) (en m/s) ; l’axe horizontal est le temps (s).

Avec le graphique : si on double la masse sans changer la force, que devient la pente de la droite ?

Elle est divisée par 2 : la vitesse change deux fois moins vite.
Elle est multipliée par 2.
Elle ne change pas.

La pente vaut \(\dfrac{F}{m}\) : doubler \(m\) la divise par 2. Une grande masse résiste davantage aux changements de vitesse.

4. Exemples résolus

Exemple 1 : le démarrage d’un zémidjan

À Cotonou, un zémidjan et son conducteur (masse totale \(m = 150\ \text{kg}\)) démarrent en ligne droite et passent de \(0\) à \(10\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}\) en \(\Delta t = 5{,}0\ \text{s}\). Quelle est la valeur de la somme des forces, supposée constante ?

Variation de vitesse (même direction que le mouvement) : \(\Delta v = 10 - 0 = 10\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}\).

Relation : \(\sum F \approx m\,\dfrac{\Delta v}{\Delta t} = 150 \times \dfrac{10}{5{,}0}\).

\(\sum F \approx 150 \times 2{,}0 = 3{,}0\times 10^{2}\ \text{N}\), dirigée vers l’avant, dans le sens du mouvement.

Exemple 2 : le freinage d’un taxi

Un taxi de masse \(m = 1\,200\ \text{kg}\) roule à \(15\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}\) (54 km/h) et s’arrête en \(\Delta t = 3{,}0\ \text{s}\). Cherche d’abord la valeur, la direction et le sens de la somme des forces.

Voir la solution

Sur l’axe du mouvement, orienté vers l’avant :

\[ \begin{align} \Delta v &= 0 - 15 = -15\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}\\ \sum F &\approx m\,\frac{\Delta v}{\Delta t} = 1\,200 \times \frac{-15}{3{,}0} = -6{,}0\times 10^{3}\ \text{N} \end{align} \]

Le signe moins indique que la somme des forces est dirigée vers l’arrière : valeur \(6{,}0\times 10^{3}\ \text{N}\), opposée au mouvement. Avec des passagers et des bagages en plus, il faudrait une force encore plus grande pour s’arrêter dans le même temps.

Exemple 3 : le ballon d’Awa

Le ballon (\(m = 0{,}45\ \text{kg}\)) n’est soumis qu’à son poids (on néglige l’air). On prend \(g = 9{,}8\ \text{N}\cdot\text{kg}^{-1}\). Que vaut \(\Delta\vec{v}\) pendant \(\Delta t = 0{,}10\ \text{s}\) ?

Voir la solution

\(\sum\vec{F} = \vec{P}\), de valeur \(P = m\,g = 0{,}45\times 9{,}8 \approx 4{,}4\ \text{N}\).

\[\Delta v \approx \frac{P\,\Delta t}{m} = \frac{4{,}41\times 0{,}10}{0{,}45} = 0{,}98\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}\]

\(\Delta\vec{v}\) est vertical, vers le bas, comme le poids. Remarque : \(\Delta v = g\,\Delta t\), la masse se simplifie.

Une pirogue de \(300\ \text{kg}\) est poussée vers le large avec une somme des forces de \(150\ \text{N}\) pendant \(2{,}0\ \text{s}\). De combien sa vitesse augmente-t-elle ?

\(4{,}0\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}\)
\(0{,}25\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}\)
\(1{,}0\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}\)

\(\Delta v \approx \dfrac{\sum F\,\Delta t}{m} = \dfrac{150\times 2{,}0}{300} = 1{,}0\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}\).

Erreurs fréquentes

flowchart LR
  A[Somme des forces nulle] --> B[Vitesse constante en ligne droite ou repos]
  C[Somme des forces non nulle] --> D[Vecteur vitesse modifie]
  D --> E[Delta v dans le sens de la somme des forces]

Récapitulatif

Principe d’inertie : forces qui se compensent \(\Leftrightarrow\) repos ou mouvement rectiligne uniforme.
\(\Delta\vec{v} = \vec{v}_{i+1}-\vec{v}_i\) se construit en traçant les deux vitesses depuis un même point.
Relation approchée : \(\sum \vec{F} \approx m\,\dfrac{\Delta \vec{v}}{\Delta t}\) ; \(\Delta\vec{v}\) a la direction et le sens de \(\sum\vec{F}\).
Pour une même force, plus la masse est grande, plus la variation de vitesse est petite.

Principe d’inertie

Forces compensées : repos ou mouvement rectiligne uniforme, et réciproquement.

Vecteur Δv

Vitesse finale moins vitesse initiale, tracées depuis un même point.

Relation approchée

Somme des forces ≈ m × Δv / Δt, pour Δt petit.

Sens de Δv

Toujours celui de la somme des forces.

Rôle de la masse

Plus m est grande, plus il est difficile de modifier la vitesse.